Textaufgabe ( Mengenlehre )

In einer Umfrage zur Untersuchung der Frage, welche Zeitung ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ oder ${\displaystyle \mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ sie an einem
bestimmten Tag gelesen hatten, nahmen ${\displaystyle 1000}$ Personen teil. Die Antworten zeigten, daß ${\displaystyle 420}$
${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>},316\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle 160\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gelesen hatten. Diese Zahlen schließen ${\displaystyle 116}$ ein, die A und ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gelesen
hatten, ${\displaystyle 100,}$ die A und ${\displaystyle \mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gelesen hatten, ${\displaystyle 30,}$ die ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gelesen hatten und die ${\displaystyle 16,}$ die alle
drei Zeitungen gelesen hatten.
${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ Wie viele Personen hatten ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>},}$ aber nicht ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gelesen?
${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ Wie viele Personen hatten ${\displaystyle \mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>},}$ aber weder A noch ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gelesen?
${\displaystyle \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ Wie viele hatten weder A noch ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ noch ${\displaystyle \mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ gelesen?

Wie löst man diese Aufgabe genau?

Zuerst dachte ich, male ich ein Venndiagramm mit einem Kreis Α ∩ Kreis ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ∩ Kreis ${\displaystyle \mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und trage die in der Aufgaben genannten teilmengen ein:

A ∩ B ∩ C = 16

A ∩ B = 116

A ∩ C = 100

B ∩ C = 30

Jetzt dachte ich, ziehe ich die teilmengen von den Gesamtmengen A, B und C ab:

A = 420; 420 - 16 - 116 - 100 = 188;

B = 316 für B

C = 160 und für C usw.

und komme so aufs Ergebnis.

Aber das ist ja dann falsch, wenn ich mir die vorgegebenen Lösungen angucke : ).

Wie genau funktioniert das ganze?