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Textaufgabe-e-Funktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Frage, mathe

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21:33 Uhr, 19.09.2010

Habe da mal ne knifflige Aufgabe für die Mathecracks unter euch :-)
Könntet ihr mir evtl mal dabei helfen :-)
Wäre nett, vielen Danke schonmal im voraus.

Als Mutter-Tochter-Zerfall bezeichnet man den Zerfall eines radioaktiven Mutterstoffs in einen Tochterstoff, der ebenfalls zerfällt, weil auch er radioaktiv ist. Zur Modellierung eines solchen Mutter-Tochter-Zerfalls werden die Funktionen

g

mit

g (t) = 200

× e-0,25×t

, t > 0

und

f

mit

f (t) = 200 \cdot e^{- 0,25} t

(1 - e^{- 0,25} t) = 200 \cdot e^{0,25} t - 200 \cdot e^{- 0,5} t, t > 0,

verwendet.

Aufgabe:

Für

t > 12

ist in der oben stehenden Abbildung nicht mehr zu erkennen, ob der Graph der Funktion

f

ober- oder unterhalb des Graphen von

g

verläuft.

1. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Graph von

f

immer unterhalb des Graphen von

g

verläuft.

2. Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt

t,

an dem der Unterschied

d

der Massen

f

und

g

nur noch

0,01

Milligramm beträgt.

[

Kontrolle:

d (t) = 200 \cdot e^{- 0,5} t]

1 Bei der 1 weiß ich überhaupt nicht was ich machen soll...:(

2.

d = 0,01

und dann umformen oder?

Aber wie stelle ich

d (t)

auf?

Danke

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21:40 Uhr, 19.09.2010

Zur 1: Zeige, dass d(t)=g(t)-f(t)>0 für alle t>0 ist. Dann siehst du auch, wie die 2 geht.

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21:51 Uhr, 19.09.2010

200 \cdot e^{- 0,25 t} - (200 \cdot e^{- 0,25 t} - 200 \cdot e^{- 0,5 t}) = 0

200 \cdot e^{- 0,25 t} - 200 \cdot e^{- 0,25 t} + 200 \cdot e^{- 0,5 t} = 0

200 \cdot e^{- 0,5 t} = 0

Geht das so?
und jetz nach

t

umformen oder wie?

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21:59 Uhr, 19.09.2010

Wenn du überall die die Gleich-Zeichen mit Größer-Zeichen ersetzt, passt es. :-) Jetzt setzt du

d (t) = 200 \cdot e^{- 0.5 t} = 0.01

und löst nach

t

auf.

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22:02 Uhr, 19.09.2010

und die 1 ist jetzt fertig? :-)

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22:15 Uhr, 19.09.2010

Schau so aus. :-)

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22:19 Uhr, 19.09.2010

so geht das aber nicht oder (die

1)

g (t) > f (t)

Beweis:

200 e^{- 0,25 t} > 200 e^{- 0,25 t} - 200 e^{- 0,5 t} | - 200 e^{- 0,25 t}

0 > - 200 \cdot e^{- 0,5 t}

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22:22 Uhr, 19.09.2010

Doch, so geht das natürlich auch.

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22:23 Uhr, 19.09.2010

und warum? :-)

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22:31 Uhr, 19.09.2010

Naja, ich hab vorgeschlagen, zu beweisen, dass

a - b > 0,

du hast den Ansatz

a > b

genommen. Offensichtlich lassen sich beide Ansätze ineinander überführen, indem man

b

auf die andere Seite holt.

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22:31 Uhr, 19.09.2010

Ist die 2 so richtig?

d (t) = g (t) - f (t) = 200 \cdot e^{- 0,25 t} - (200 \cdot e^{- 0,25 t} - 200 \cdot e^{- 0,5 t})

= 200 \cdot e^{- 0,25 t} - 200 \cdot e^{- 0,25 t} + 200 \cdot e^{- 0,5 t} = 200 \cdot e^{- 0,5 t}

d (t) = 0,001

200 \cdot e^{- 0,5 t} = 0,01 | ln . .

ln (200 \cdot e^{- 0,5 t}) = ln (0,01)

- 0,5 t \cdot ln (200) = ln (0,01) \frac{|}{- 0,5}

t \cdot ln (200) = - 2 \cdot ln (0,01) | ln (200)

t = - 2 \cdot \frac{ln (0,01)}{ln (200)}

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10:35 Uhr, 20.09.2010

Nicht ganz, nach

ln(200⋅e-0,5t)=ln(0,01)

löst du den

ln

falsch auf, es gilt:

ln (a \cdot b) = ln (a) + ln (b)

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