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Textaufgaben

Universität / Fachhochschule

Tags: Bruchrechnung mit Variablen, Gleichungen, Textaufgaben

Cryptix aktiv_icon

22:02 Uhr, 04.06.2023

Hallo,

ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr bei den folgengenden drei Textaufgaben:

1. Eine Studentin entrichtet für ihren akademischen Abschluss Studiengebühren. Ihre Verwandten geben ihr dafür $9500$ Euro: die Eltern $\frac{1}{6}$ und die Großeltern $\frac{5}{8}$ der Gesamtkosten. Wie teuer ist der Abschluss insgesamt.

$\to$ Hier interessiert mich die Gleichung! Laut Lösung, soll es per logischer Übelregung gelöst werden ( Lösung $3,6 h$ bzw 3 Stunden $36 min)$ Komme nicht auf die $36 min,$ sondern nur bsi 3 Stunden $30$ quasi.

2. Ein Fliesenlegermeister braucht sechs Stunden um $15$ qm Fliesen zu verlegen. Sein Lehrling benötigt dafür 9 Stunden. Wie lange benötigen beiden zusammen für die Fläche?

$\to$ Auch hier interessiert mich die Gleichung! Laut Lösung, soll es per Bruchrechnung gelöst werden: (Lösung 12000Euro)

3. Drei Leichtathleten starten für die $400 m$ . Als der erste die Ziellinie überquert, fehlen dem zweiten $40 m$ zum Ziel. Als der zweite am Ziel ist, liegt der dritte ebenfalls $40 m$ hinter ihm. Wie viel Meter lag der dritte hinter dem ersten, als dieser das Ziel erreichte? Unterstellt wird eine gleichmäßige Laufgeschwindigkeit.

$\to$ Auch hier interessiert mich die Gleichung. Laut Lösung, soll es per Bruchrechnung gelöst werden (Lösung $76 m)$

Vielen Dank im Vorraus!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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22:18 Uhr, 04.06.2023

Hallo,

bei der 1. summiert man erst einmal die Anteile der Eltern und der Großeltern: $\frac{1}{6} + \frac{5}{8} = \frac{8}{48} + \frac{30}{48} = \frac{38}{48}$

Also entsprechen 9500 Euro dem Anteil von $\frac{38}{48}$ . Gesucht ist der Betrag (x) der $100 % = 1$ entspricht. Wenn man es als Dreisatz aufschreibt steht da

$9500 \overset{\land}{=} \frac{38}{48}$

$x \overset{\land}{=} 1$

Also ist $x = 9500 \cdot \frac{1}{\frac{38}{48}} = 9500 \cdot \frac{48}{38} = . . .$

Soweit nachvollziehbar?

Gruß
pivot

Cryptix aktiv_icon

22:41 Uhr, 04.06.2023

Also ist x=9500⋅1/38/48=9500⋅48/38=...

Vielen Dank! Soweit verständlich, allerdings überlege ich noch wie ich von $9500 x \frac{1}{38} / 48$ auf $9500 x \frac{48}{38}$ komme...(kriege kein Mal hin...)

Die 1 kürzt sich weg? und dann der Kehrwert?

pivot aktiv_icon

22:49 Uhr, 04.06.2023

Ein Term (hier 1) wird durch einen Bruch $(hier: \frac{38}{48})$ dividiert, indem man den Term mit dem kehrwert multipliziert.

Also ist 1/ $(\frac{38}{48}) = 1 \cdot \frac{48}{38} = \frac{48}{38}$

>>Die 1 kürzt sich weg? und dann der Kehrwert?<<

Die 1 fällt einfach weg, da $1 \cdot a = a$ ist. Ansonsten: Volle Zustimmung.

Respon

23:00 Uhr, 04.06.2023

" We sneak up logically "
$F$ würde für $15 m^{2}$ insgesamt $6 h$ brauchen $\Rightarrow$ er schafft pro Stunde $\frac{5}{2} m^{2}$
$L$ würde für $15 m^{2}$ insgesamt $9 h$ brauchen $\Rightarrow$ er schafft pro Stunde $\frac{5}{3} m^{2}$

Zusammen schaffen sie pro Stunde $\frac{5}{2} m^{2} + \frac{5}{3} m^{2} = \frac{25}{6} m^{2}$

Wie oft steckt das in $15 m^{2}$ ?
$\frac{15 m^{2}}{\frac{25}{6} m^{2}} = ... = 3,6$ mal eine Stunde

oder $. .$ . ( sehr geheimnisvoll $!)$
$\frac{1}{\frac{1}{6} + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{15}{54}} = \frac{1}{\frac{5}{18}} = \frac{18}{5} = . .$ .

KL700 aktiv_icon

06:36 Uhr, 05.06.2023

2.
$\frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{1}{x}$

$9 x + 6 x = 54$

$15 x = 54$

$x = 3,6$ Std.

Die Fläche ist nicht wichtig, es geht um die Gesamtleistung $x$ .

Die Lösung passt nicht zu Aufgabe.

Cryptix aktiv_icon

19:16 Uhr, 05.06.2023

Vielen Dank, aber wie kommt man auf $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{9} ...$ ?

michaL aktiv_icon

20:47 Uhr, 05.06.2023

Hallo,

nun, die ganze Arbeit (also 100 % oder eben 1) wird beim Meister in 6 h erledigt.
Dann beträgt die Arbeitsgeschwindigkeit $\frac{1}{6}$ (ohne sämtliche Einheiten).

Beim Lehrling mit der gleichen Überlegung $\frac{1}{9}$ .

Mit der gleichen Überlegung definiert man sich die Kombiperson aus Meister und Lehrling, der die Arbeit eben in $x$ h erledigt.

So kommt die Gleichung zustande.

Natürlich könnte man die Fläche schon auch mit einberechnen. Dann wäre die Geschwindigkeit eben beim Meister $\frac{15}{6}$ , beim Lehrling $\frac{15}{9}$ und bei der hypothetischen Kombiperson $\frac{15}{x}$ .
Daraus würde die Gleichung $\frac{15}{6} + \frac{15}{9} = \frac{15}{x}$ resultieren.
Diese Gleichung kann man aber schick durch 15 teilen, sodass sich die von KL700 angegebene Gleichung ergibt.
Diese Tatsache rechtfertigt auch (im Nachhinein) die Aussage:
> Die Fläche ist nicht wichtig

Noch ein anderer Weg, insbesondere weil die Arbeitsleistungen in so einem günstigen Verhältnis stehen:
Der Meister ist 1,5mal so schnell. Zusammen sind die beiden demnach 2,5mal so schnell wie der Lehrling allein.
Demnach brauchen sie zusammen auch nur $\frac{1}{2, 5} = \frac{2}{5}$ der Zeit, also $\frac{2}{5} \cdot 18 = 3, 6$ h.

Und noch etwas:
Bitte stelle immer nur eine Aufgabe pro posting ein.
Bitte konzentriere dich auch immer auf diese eine und öffne nicht einfach eine zweite, damit es schneller geht.
Denn: Was lernst du, wenn du
a) die Arbeit (schon wieder?) jemanden anderes machen lässt und
b) nur halbherzig bei der Sache bist?

Und noch etwas:
Diese Art von Aufgaben werden in D in der Mittelstufe behandelt. Insbesondere sind es Schulaufgaben. Hast du dich vielleicht im Forum geirrt? Es gibt auch ein Schülerforum.

Und das letzte: Zur letzten Aufgabe:
Was meinst du (ohne die Lösung zu kennen)? Musste der dritte Läufer 2x 40m weg gewesen sein oder mehr oder weniger?
Das wesentliche: Warum muss es so sein?

Wer nicht anfängt,mathematisch zu denken, macht Mathematik auch nur wie in der Schule. Und das willst du doch eigentlich gar nicht, oder?

Mfg Michael

Cryptix aktiv_icon

09:42 Uhr, 06.06.2023

Danke für die Ausführung. Irgendwie fühlt sich $80 m$ als Lösung falsch an, aber mir fehlen andere Werte, um etwas anderes auszurechenen...

HAL9000

16:56 Uhr, 06.06.2023

Zu 3) Bekanntlich ist bei gleichförmiger Bewegung $v = \frac{s}{t}$ , umgestellt nach der Zeit $t = \frac{s}{v}$ . Im vorliegenden Fall haben wir die Gesamtstrecke 400m des einen ankommenden Läufers und nur 360m des dahinter ankommenden. Seien nun $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ die drei Geschwindigkeiten der Läufer, dann kann man dem Aufgabentext folgendes entnehmen:

Zeitpunkt Zielankunft Läufer 1: $t_{1} = \frac{400}{v_{1}} = \frac{360}{v_{2}}$

Zeitpunkt Zielankunft Läufer 2: $t_{2} = \frac{400}{v_{2}} = \frac{360}{v_{3}}$

Jetzt kann man versuchen daraus zu schließen, welche Strecke Läufer 3 mit seiner Geschwindigkeit $v_{3}$ zum Zeitpunkt $t_{1}$ zurückgelegt hat...

P.S.: Auch ohne diese konkrete Rechnung sollte qualitativ bereits klar sein, dass zu jenem Zeitpunkt $t_{1}$ der Läufer 3 WENIGER als 80m vom Ziel entfernt sein muss - warum?

Cryptix aktiv_icon

19:40 Uhr, 06.06.2023

Also das kann ja nur am gleichförmigen Laufen liegen, da der 3. Läufer bei jeder Zieleinkunft nicht stehen bleibt, sondern sich bewegt.

Trotzdem komme ich nicht drauf, wie jetzt die Geschwindigkeiten dazu kommen können und ich eine Lösung bekomme??? Es fehlgen doch Zahlen?

HAL9000

20:03 Uhr, 06.06.2023

Die Zahlen stehen doch da: Die Gleichung für $t_{2}$ mit Faktor 0.9 multipliziert erhält man $\frac{360}{v_{2}} = \frac{324}{v_{3}}$ . Das ist offenbar identisch zu $t_{1}$ , damit bekommt man

$t_{1} = \frac{324}{v_{3}}$ bzw. $v_{3} t_{1} = 324$ , d.h. zum Zeitpunkt der Zielankunft von Läufer 1 hat Läufer 3 genau 324m zurückgelegt, und ist demnach noch 400m - 324m = 76m vom Ziel entfernt.

Es sind also genug Angaben in der Aufgabe vorhanden - natürlich vorausgesetzt, dass jeder der drei Läufer seinen Lauf vollkommen gleichförmig (d.h. mit seiner konstanten Geschwindigkeit $v_{k}$ ) durchführt.

michaL aktiv_icon

21:02 Uhr, 06.06.2023

Hallo,

sicher hat sich HAL9000 (und ich auch) gewünscht, dass du von allein darauf kommst.
Wären 80 m korrekt gewesen, dann wäre Läufer 3 genauso schnell gewesen auf den dann folgenden 40 m wie Läufer 2.

Kurz nachdenken, warum: Läufer 2 befindet sich zu diesem Zeitpunkt 40 m vor Ziel, Läufer 3 (fälschlich) 80 m.

40 m weiter befindet sich Läufer 2 im Ziel und zu diesem Zeitpunkt Läufer 3 nur noch 40 m vor dem Ziel. Dann hätte er in der Zeit, die Läufer 2 für die letzten 40 m gebraucht hat, ebenfalls 40 m zurückgelegt, wäre also tatsächlich genauso schnell gewesen.
Dann aber hätten sie (Voraussetzung: konstante Geschwindigkeit während des gesamten Laufs) gar nicht 40 m auseinander liegen dürfen. (Beide starten (vemrutlich) zur gleichen Zeit am (vermutlich) gleichen Ort und sind gleich schnell.)

Da Läufer 3 aber zurück liegt, muss er langsamer sein als Läufer 2, in der gleichen Zeit also weniger Entfernung zurücklegen als dieser.

Wenn man sich diese Zusammenhänge (selbst) klar macht, dann ist alles viel einfacher.

HAL9000 hat ja schon darauf hingewiesen, dass es so schön alles auf 90 % getrimmt ist, dass man die Lösung auch ohne viel Rechnerei quasi sehen kann.

Mfg Michael

Cryptix aktiv_icon

12:36 Uhr, 08.06.2023

Danke @ all. Power

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