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Thaleskreis Flächenberechnung

Universität / Fachhochschule

Tags: Kreisberechnung, Thaleskreis

Bonito aktiv_icon

12:12 Uhr, 05.03.2019

Zeige, dass die graue Fläche denselben Flächeninhalt besitzt wie das rechtwinklige Dreieck.

(s

. Bild)

(auf dem Bild steht "gelbe Fläche", das muss mit "graue Fläche" ersetzt werden.)

Die Aufgaben mit Zahlenwerten für die Radien zu lösen, wäre kein Problem, mit unbekannten gelingt mir das nicht. Habe für die Radien mal

x, y

und

z

gewählt. Hat zu nichts geführt.

Freue mich auf jeden Lösungsansatz. Bitte verzeith mir, falls die Frage in den Schülerbereich gehört.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Edddi aktiv_icon

12:24 Uhr, 05.03.2019

. .

. es soll also gezeigt werden, dass

\frac{π b^{2}}{2} + \frac{π a^{2}}{2} + Δ - \frac{π c^{2}}{2} = Δ

wobei

Δ =

Fläche des Dreiecks ist.

Dies sollte wohl kein Problem sein.

;-)

Bonito aktiv_icon

12:34 Uhr, 05.03.2019

Ist irgendwie doch ein Problem für mich

;)

aber danke ersmals.

Du setzt dann 4ab/2 ein für die Dreiecke. Die werden dann rausgekürzt, wenn ich die Gleichung auflöse oder habe ich da was falsch verstanden?

Edddi aktiv_icon

12:40 Uhr, 05.03.2019

\frac{π b^{2}}{2}

ist der Halbkreis über Kathete

b

\frac{π a^{2}}{2}

ist der Halbkreis über Kathete a

dazu dann noch die Fläche des Dreiecks

Δ

Dann hat man die gesamte Fläche.

Davon ziehen wir dann den Halbkreis über der Hypethenuse

c

ab:

\frac{π c^{2}}{2}

Übrig bleibt die Fläche der 2 Sicheln - und die soll ja identisch mit dem Dreieck

Δ

sein.

Darum:

\frac{π b^{2}}{2} + \frac{π a^{2}}{2} + Δ - \frac{π c^{2}}{2} = Δ

. .

. nun musst du nur noch zeigen, dass die Gleichung stimmt.

;-)

Respon

12:42 Uhr, 05.03.2019

Ist nicht der Radius

\frac{b}{2}

bzw.

\frac{a}{2}

ermanus aktiv_icon

12:47 Uhr, 05.03.2019

Ja. Sehe ich auch so:
also

\frac{π a^{2}}{8}

, usw.

Edddi aktiv_icon

12:48 Uhr, 05.03.2019

. .

. oh ja, sorry, es muss natürlich

\frac{π {(\frac{b}{2})}^{2}}{2} + \frac{π {(\frac{a}{2})}^{2}}{2} + Δ - \frac{π {(\frac{c}{2})}^{2}}{2} = Δ

heißen.

Das Ergebnis bleibt aber gleich, da ja die Halbkreise der Katheten flächengleich dem Halbkreis der Hypothenuse ist.

;-)

Bonito aktiv_icon

12:49 Uhr, 05.03.2019

a, b

und

c

sind die Radien, ja? Auf diese Gleichung kam ich auch schon, hab dann für das Dreieck oder die Dreiecke noch 4ab/2 eingesetzt, aber dann, dann ging nichts mehr

;)

Bonito aktiv_icon

12:57 Uhr, 05.03.2019

Habe

a^{2} + b^{2} = c^{2}

rausbekommen, das gilt im rechtwinkligen Dreieck, also ist die Gleichung gültig?

Respon

13:02 Uhr, 05.03.2019

a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow \frac{a^{2} \cdot π}{8} + \frac{b^{2} \cdot π}{8} = \frac{c^{2} \cdot π}{8}

Seien

S (1)

bzw.

S (2)

die färbigen Segmente
Graue Fläche

: \frac{b^{2} \cdot π}{8} + \frac{a^{2} \cdot π}{8} - [S (1) + S (2)]

S (1) + S (2) = \frac{c^{2} \cdot π}{8} - \frac{a \cdot b}{2}

\Rightarrow

Graue Fläche

: \frac{b^{2} \cdot π}{8} + \frac{a^{2} \cdot π}{8} - [\frac{c^{2} \cdot π}{8} - \frac{a \cdot b}{2}] = \frac{a \cdot b}{2}

Bonito aktiv_icon

13:18 Uhr, 05.03.2019

Dankeschön!
Die Gleichung habe ich auch so hingekriegt, dann umgeformt und vereinfacht und

a^{2} + b^{2} = c^{2}

erhalten.

Edddi aktiv_icon

13:22 Uhr, 05.03.2019

. .

. und da am rechtw. Dreieck gilt

a^{2} + b^{2} = c^{2}

sind auch die beiden Sichelflächen mit der Dreiecksfläche identisch!

;-)

ledum aktiv_icon

13:24 Uhr, 05.03.2019

Hallo
ist zwar richtig, aber du willst ja grau Fläche

= a \cdot \frac{b}{2} =

flache Dreieck und das kommt mit

a^{2} + b^{2} - c^{2} = 0

raus. so ist der Beweis "schöner"
Gruß ledum

ermanus aktiv_icon

13:29 Uhr, 05.03.2019

Die eleganteste Methode ist die von Edddi von 12:48 Uhr;
denn wie die Fläche

Δ

des Dreiecks berechnet werden kann, ist doch
für den Beweis vollkommen egal!

Bonito aktiv_icon

13:29 Uhr, 05.03.2019

Danke. Aber muss da nicht die Fläche des Dreiecks rauskommen?

HAL9000

13:32 Uhr, 05.03.2019

Zur (mathematikhistorischen) Einordnung: Der Sachverhalt hier ist auch bekannt als "Möndchen des Hippokrates".

Respon

13:37 Uhr, 05.03.2019

. .

. vorausgesetzt, die Figuren sind zueinander ähnlich.

Edddi aktiv_icon

13:38 Uhr, 05.03.2019

. .

. die Fläche des Dreiecks musst du nur herauskommen, wenn du die beiden Sichelflächen berechnest.

Dies ist aber garnicht notwendig. Man zeigt es also indirekt.

;-)

Edddi aktiv_icon

13:43 Uhr, 05.03.2019

. .

. du kannst es auch so machen:

\frac{π {(\frac{b}{2})}^{2}}{2} + \frac{π {(\frac{a}{2})}^{2}}{2} + Δ - \frac{π {(\frac{c}{2})}^{2}}{2} =

Sichelflächen

\frac{π {(\frac{b}{2})}^{2}}{2} + \frac{π {(\frac{a}{2})}^{2}}{2} - \frac{π {(\frac{c}{2})}^{2}}{2} + Δ =

Sichelflächen

\frac{π}{8} (a^{2} + b^{2} - c^{2}) + Δ =

Sichelflächen

da

a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow a^{2} + b^{2} - c^{2} = 0

\frac{π}{8} \cdot (0) + Δ =

Sichelflächen

Δ =

Sichelflächen

;-)

Bonito aktiv_icon

13:49 Uhr, 05.03.2019

Das gefällt mir Eddie! :-)

habe verstanden,
Danke dir und allen anderen. ;-)

ledum aktiv_icon

21:35 Uhr, 05.03.2019

Hallo
bitte abhaken

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