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Tipps für Beweis von Potenzmengen
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Sonstig
 
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Hallo, ich stecke gerade in folgender Aufgabe und mir fehlt der Lösungsansatz. Hat jemand hilfreiche Tipps, die mir einen Denkanstoß geben, nicht aber die Lösung vorwegnehmen? Es seien A und B Teilmengen einer Menge G. Zeigen Sie: P(A) P(B) P(AB) . Gruß Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo welche Potenzmengen enthält nicht, die enthält falls nicht oder oder Gruß ledum |
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Hallo zusammen! @ledum: Am Anfang soll es wohl "welche Mengen" statt "welche Potenzmengen" heißen, oder? Dann verstehe ich deinen Hinweis so, dass Venturion bestimmen solle. Das mag ja grundsätzlich eine gute Übung sein, aber was trägt das zur Lösung der vorliegenden Aufgabe bei? @Venturion: Ein Großteil der Aufgabe besteht darin sich klarzumachen, was eigentlich wirklich zu tun ist: Zu zeigen ist . Also ist nach Definition von zu zeigen: Für alle gilt auch . Sei dazu also beliebig vorgegeben. Zu zeigen ist . Was bedeutet die Annahme nach Definition von , und ? Was bedeutet die zu zeigende Aussage nach Definition von ? Kommst du mit diesem Ansatz weiter? Viele Grüße Tobias |
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"Was bedeutet die Annahme M∈P(A)∪P(B)M∈P(A)∪P(B) nach Definition von ∪, P(A)P(A) und P(B)P(B)?" Eine Menge M ist Element der Potenzmenge von A, die mit der Potenzmenge B vereint ist. "Was bedeutet die zu zeigende Aussage M∈P(A∪B)M∈P(A∪B) nach Definition von P(A∪B)P(A∪B)?" Eine Menge M ist Element der Potenzmenge von der Vereinigung der Mengen A und B. In beiden Fällen repräsentiert die Menge M alle Teilmengen von A und B. Mein Beweis sieht zur Zeit so aus: P(A) P(B) P(AB) M P(A) P(B) = M P(AB) //per Definition kann eine Menge auch Teilmenge von sich selbst sein M P(A) P(B) {M|MA} {M|MB} {M|MAB} P(AB) Gruß |
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Die Annahme bedeutet nicht, dass Element der Potenzmenge von A sein muss, sondern nur, dass Element der Vereinigung der Potenzmengen von A und B sein muss. Das gerade genannte ist eine sprachliche Verbalisierung der Aussage . Hinaus wollte ich auf die Bedeutung der Begriffe: bedeutet nach Definition der Vereinigung, dass oder gilt. Die Bedingung bedeutet wiederum nach Definition der Potenzmenge von A, dass gilt. Ebenso bedeutet , dass gilt. Wir haben innerhalb des von mir in meiner vorherigen Antwort begonnenen Beweises also eine Menge M mit oder . Zeigen müssen wir , d.h. nach Definition der Potenzmenge von ist zu zeigen. Wir wissen wie gesagt oder . Etwa im ersteren Fall folgt und damit tatsächlich wie gewünscht . (Bei Bedarf lässt sich diese Überlegung noch ausführlich begründen.) Der zweite Fall kann analog behandelt werden. |
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Du scheinst von auszugehen. Das ist im Allgemeinen nicht richtig. Betrachten wir etwa und . Dann ist , aber . |
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In deinem Beweis-Versuch wirfst du Aussagen und Mengen durcheinander. P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A∪B) ⇔ M∈ P(A) ∪ P(B) = M∈ P(A∪B) //per Definition kann eine Menge auch Teilmenge von sich selbst sein Hier meinst du wohl . Dass wäre äquivalent zu (was ja im Allgemeinen nicht stimmt). Die Behauptung ist hingegen äquivalent zu (womit eigentlich gemeint ist). M∈ P(A) ∪ P(B) ⇔ {M|M⊆A} ∨ {M|M⊆B} Korrekt wäre: . (Zwei Mengen anzugeben und mit zu verknüpfen zu versuchen, ergibt keinen Sinn.) ⇔ {M|M⊆A∨B} ergibt keinen Sinn, da A und B Mengen und keine Aussagen sind. Vermutlich meintest du . Mit lassen sich Aussagen verknüpfen, keine Mengen. Es gilt i.A. NICHT die Äquivalenz . ⇔ P(A∪B) Hier steht wieder eine Menge, obwohl hier eine Aussage stehen müsste. Vermutlich gemeint ist die Aussage . |
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