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Topologie, stetige Funktion konstant

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

Fabienne- aktiv_icon

21:45 Uhr, 19.04.2016

Hallo,

hat jemand einen Tipp zu folgender Aufgabe für mich?

Sei

ℕ

versehen mit der koendlichen Topologie und

ℝ

versehen mit der Standard-Topologie. Ferner Sei

f : ℕ \to ℝ

stetig bezüglich dieser Topologien.

Zeigen Sie, dass

f

konstant ist.

Wie kann man an diese Aufgabe rangehen?
Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Sina86

00:58 Uhr, 20.04.2016

Hallo,

f

ist eine Folge

(f_{i})_{i \in ℕ} \subset ℝ

mit

f_{i} := f (i)

. Als solche sind ihre Folgeglieder diskret in

ℝ

verteilt. Angenommen, die Menge

M := {f_{i} ∣ i \in ℕ}

hat mehr als ein Element, z.B.

f_{j}, f_{k} \in M

mit

f_{j} \neq f_{k}

. Dann kannst du zwei disjunkte offene Mengen konstruieren, die

f_{j}

bzw.

f_{k}

enthalten. Was weißt du dann über dessen Urbilder unter

f

?

Viele Grüße
Sina

Fabienne- aktiv_icon

01:06 Uhr, 20.04.2016

Hey, vielen Dank für deine Antwort. Auf so einen Ansatz wäre ich ja nie gekommen... :(
Was meinst du mit "diskret in

ℝ

verteilt".

Muss ich die Konstruktion der disjunkten offenen Mengen explizit angeben, oder meinst du damit eine Existenzaussage, also "es gibt disjunkte offene Mengen .... "

Sina86

09:24 Uhr, 20.04.2016

Hallo,

"diskret verteilt" heißt in diesem Fall, dass du die Elemente der Menge durch offene Mengen trennen kannst. Entweder kannst du das aus einem Analysis-Satz zitieren, oder du musst die offenen Mengen konstruieren. Im Zweifelsfall musst du immer die Konstruktion angeben, denn dieses "es gibt disjunkte offene Mengen..." muss man immer begründen.

Grüße
Sina

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11:00 Uhr, 20.04.2016

Ich muss also zeigen, dass ich einen Hausdorff-Raum habe?

Sina86

17:22 Uhr, 20.04.2016

Hallo,

wenn ich noch einmal genauer überlege, ist mein Hinweis mit der Diskretheit gar nicht richtig. Eine Teilmenge heißt diskret, wenn ich um jeden Punkt eine Umgebung finde, die untereinander disjunkt sind. Das muss bei Folgen so aber nicht sein, z.B. wenn sie einen Häufungspunkt haben. Daher vergiss das.

Aber dein Weg, zu zeigen, dass die gewöhnliche Topologie auf den reellen Zahlen einen Hausdorff-Raum bilden, führt zum selben Ziel ;-)

Lieben Gruß
Sina

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19:17 Uhr, 20.04.2016

Verstehe ich dich richtig, dass es also zielführend ist zu zeigen, dass wir einen Hausdorff-Raum haben und es daher zu je zwei verschiedenen Punkten

x, y

Umgebungen gibt, deren Schnitt leer ist, oder meinst du mit "führt zum selben Ziel", dass es nichts bringt, weil dein Hinweis auf die diskrete Verteilung nicht zielführend war.

Das ein Hausdorff-Raum vorliegt ist klar, denn jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum. Und die Topologie auf

ℝ

wird ja durch die Metrik induziert.

Sina86

21:53 Uhr, 20.04.2016

Nein, ich glaube, mit dem Hausdorff-Raum kannst du auch argumentieren. Seien jetzt also

f (i) \neq f (j)

für

i \neq j

, was weißt du dann über die Urbilder der entsprechenden offenen Mengen?

Fabienne- aktiv_icon

21:59 Uhr, 20.04.2016

Also ich habe es jetzt erstmal so gemacht.
Zu erst habe ich gezeigt, dass ich einen Hausdorff-Raum habe. Das war leicht.

Es gibt Umgebungen

V_{k}

f (k)

und

V_{l}

f (l)

.
Wegen der Hausdorff-Eigenschaft

V_{k} \cap V_{l}

disjunkt.

Sei

U_{k} \subseteq V_{k}

offen und

U_{l} \subseteq V_{l}

offen (bezüglich der Topologie auf

ℝ

)

Dann ist

f^{- 1} (U_{l}), f^{- 1} (U_{k})

offen bezüglich der Topologie auf

ℕ

.
Daher enthalten beide Mengen alle bis auf endlich viele natürlichen Zahlen und müssen zusätzlich disjunkt sein.
Denn wären sie nicht disjunkt, wäre dies ein Widerspruch dazu, dass die Umgebungen

V_{k}, V_{l}

disjunkt sind.

Nun weiß ich nicht, wie ich es generell zum Widerspruch führen kann, aber vielleicht ist es bis hier hin gar nicht richtig, oder einfach nicht Zielführend.

Sina86

06:15 Uhr, 21.04.2016

Doch, so ist es richtig. In

f^{- 1} (U_{k})

sind alle bis auf endlich viele Elemente, daher können in

f^{- 1} (U_{l})

nur endlich viele Elemente sein, was bedeutet, dass

f^{- 1} (U_{l})

nicht offen ist und somit

f

nicht stetig, was der Widerspruch zur Voraussetzung ist.

Fabienne- aktiv_icon

07:34 Uhr, 21.04.2016

Ah, stimmt, ich hatte irgendwie gedacht, dass ich so nicht schließen kann, weil etwa in der einen Umgebung alle ungeraden Zahlen sein können und in der anderen die geraden Zahlen. Aber das kann ja eben nicht sein, da die offenen Mengen so überhaupt nicht aussehen, bzgl. der koendlichen Topologie.

Und die Urbilder müssen disjunkt sein, denn wenn sie es nicht sind, dann wären auch schon die die Umgebungen jeweils nicht disjunkt.

Vielen Dank für die Hilfe.
Hat mir wirklich sehr geholfen.

Sina86

09:39 Uhr, 21.04.2016

Immer wieder gerne ;-)
Bitte die Frage als erledigt markieren, ich mach das jetzt mal :-)

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