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Torus, Transformationsformel

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Torus, Trafoformel

Fabienne- aktiv_icon

04:02 Uhr, 03.01.2016

Sei

R > r > 0

. Berechnen Sie das Volumen des Torus

T := {(x, y, z) \in ℝ^{3} ∣ (R - \sqrt{x^{2} + y^{2}})^{2} + z^{2} = r^{2}}

mit Hilfe der Parameterisierung

F : ℝ^{3} \to ℝ^{3}

(t, φ, θ)^{t} \mapsto ((R + t \cos (θ)) \cos (φ), (R + t \cos (θ)) \sin (φ), t \sin (θ))^{t}

Zu erst habe ich die Jakobi-Matrix aufgestellt:

\begin{pmatrix}

\cos(\theta)\cos(\phi) &-(R+t\cos(\theta))\sin(\phi)-R\sin(\phi) &t\cos(\phi)\sin(\theta)\\\cos(\theta)\sin(\phi)&(R+t\cos(\theta))\cos(\phi)+R\cos(\phi)&-t\sin(\phi)\sin(\theta)\\\sin(\theta)&0&t\cos(\theta)

\end{pmatrix}

Entschuldigung, dass es so aussieht...
Leider funktioniert die Darstellung der Matrix nicht. Ich scheine einen falschen Code zu benutzen. Selbes Problem hatte ich oben auch mit den Vektoren, weshalb ich sie Transponiert hingeschrieben habe.

Kann mir jemand den korrekten Code nennen? Das wäre sehr nett, damit ich es auch lesbar präsentieren kann. :(

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:35 Uhr, 03.01.2016

Hallo
gehe auf den header wie schreibt man Formeln direkt über dem Eingabefenster links.
Gruß ledum

Fabienne- aktiv_icon

17:17 Uhr, 03.01.2016

Jetzt habe ich es gefunden, danke.

(\begin{array}{rcl} \cos (θ) \cos (φ) & - (R + t \cos (θ)) \sin (φ) - R \sin (φ) & - t \cos (φ) \sin (θ) \\ \cos (θ) \sin (φ) & (R + t \cos (θ)) + R \cos (φ) & - t \sin (φ) \sin (θ) \\ \sin (θ) & 0 & t \cos (θ) \end{array})

Hmm, wie eine Matrix sieht das leider immer noch nicht aus. Auch werden die Einträge meiner Meinung nach nicht wirklich schön angezeigt. Das sieht in der ersten Zeile so aus, als wäre es ein ganz langer Term.

Ich benutze \begin{eqnarray} und \end{eqnarray}

Aber zur eigentlichen Frage...

Ist die Jakobi-Matrix so korrekt? Über eine Korrektur würde ich mich freuen.
Als nächstes muss ich zeigen, dass die Determinante nicht Null wird, damit ich einen Diffeomorphismus habe und die Transformationsformel anwenden kann?

ledum aktiv_icon

19:40 Uhr, 03.01.2016

Hallo
in der ersten Zeile seh ich nicht wie du bei

a_{12 =}

auf die -Rsin(\ph( kommst in der 2 ten Zeile

a_{22}

auf

R cos φ,

das steht doch schon in der Klammer davor?
der Rest scheint richtig
Gruß ledum

Fabienne- aktiv_icon

22:01 Uhr, 03.01.2016

Oh, du hast recht...
Ich hatte es auch erst ohne dem dastehen und dann hinterher beim kurzem drüberschauen hinzugefügt, weil ich dachte ich hätte zu erst nicht beachtet, dass man es ja ausmultipliziert.
Ist hier natürlich nicht nötig. Da habe ich bei meiner eigenen Korrektur mist gebaut.

Die Jakobi-Matrix lautet nun also so:

(\begin{array}{rcl} \cos (θ) \cos (φ) & - (R + t \cos (θ)) \sin (φ) & - t \cos (φ) \sin (θ) \\ \cos (θ) \sin (θ) & (R + t \cos (θ)) \cos (φ) & - t \sin (φ) \sin (θ) \\ \sin (θ) & 0 & t \cos (θ) \end{array})

Was ist nun weiter zu tun, um den Transformationssatz anzuwenden?
Ich muss erstmal nachweisen, dass ich einen Diffeomorphismus habe. Das kann ich tun, indem ich zeige, dass die Determinante der Jakobi-Matrix nicht Null wird, oder?

Danach kann ich dann mit dem Transformationssatz benutzen und muss das Integral berechnen.

ledum aktiv_icon

23:50 Uhr, 03.01.2016

Hallo

det (J)

berechmem und düber den Köper integrieren.

\int

Fdet(j)drd\phi,d\Theta das Integral über den Definitionsbereich,
Gruß ledum

Fabienne- aktiv_icon

07:30 Uhr, 05.01.2016

Hallo,

rechne ich die Determinante aus, so erhalte ich

t (R + t \cos (θ))

als Ergebnis.

Ist das korrekt?

ledum aktiv_icon

12:52 Uhr, 05.01.2016

hallo
sowas lass nicht uns ausrechnen sondern wolfram

α

oder was entsprechendes. Ich komm mir als nachrechenknecht blöd vor.
Gru0 ledum

Fabienne- aktiv_icon

19:40 Uhr, 05.01.2016

Ich habe es von Wolframalpha korrigieren lassen und es ist korrekt.
Sorry, ich dachte du hättest die Aufgabe schon längst selbstständig gerechnet. :-)

Und integrieren muss ich nun über die Menge T und dann das Dreifachintegral ausrechnen?
Wie komme ich auf die entsprechenden Grenzen? Mit einer Skizze? Oder ist all das gar nicht notwendig.

ledum aktiv_icon

19:59 Uhr, 05.01.2016

Hallo
nSkizze schadet nie, wenn du dir den Torus nicht gut genug vorstellen kannst.
Gruß ledum

Fabienne- aktiv_icon

23:55 Uhr, 05.01.2016

Den Torus kann ich mir eigentlich schon vorstellen.
Nur nicht unbedingt die Transformation. In was für ein Objekt transformiert man den Torus denn?

Und wie kann mir die Skizze helfen, wenn ich eine Transformation durchführe, die Grenzen zu bestimmen?

PhantomV aktiv_icon

13:18 Uhr, 06.01.2016

Hi,

der Torus bleibt natürlich der Torus. Was man transformiert sind die Koordinaten.
Am besten machst du dir mal klar warum die Parametrisierung von oben auch wirklich eine ist,
bzw. was

t, φ

und

θ

anschaulich sind. Dann solltest du auch deine Integrationsgrenzen finden.

Gruß PhantomV

Fabienne- aktiv_icon

17:02 Uhr, 06.01.2016

t sollte ein Streckungsfaktor sein und

φ

und

θ

Winkel.
Man bildet auf eine Kugel ab.

ledum aktiv_icon

01:00 Uhr, 07.01.2016

Hallo
den

n

Torus stellst du dir dur 2 Kreise erzeugt vor, der eine RadiusR, der andere Radius

r = t,

wenn du erst mal

t = 0

setzt siehst du es, dann

R = 0

dann hast du die beiden Kreise, die addiert werden!
Gruß ledum

Fabienne- aktiv_icon

01:10 Uhr, 07.01.2016

Dann muss ich also

\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} t (R + t \cos (θ)) d t d φ d θ

berechnen?

ledum aktiv_icon

01:27 Uhr, 07.01.2016

richtig, wenn

t

von 0 bis 1 läift, sinst von 0 bis

r

Gruß ledum

Fabienne- aktiv_icon

01:47 Uhr, 07.01.2016

Oh, du hast recht.

Eine letzte Frage hätte ich noch.
Wie prüft man nun genau ob alle Voraussetzungen des Transformationssatzes erfüllt sind?
Also das etwa ein Diffeomorphismus vorliegt?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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