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Total diff aber nicht stetig partiell diff

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Partielle Differentiation, partielle Differenzierbarkeit, totale Differenzierbarkeit

traurigerstudent

17:58 Uhr, 26.09.2018

Hallo,

die Vorgehensweise die wir gelernt haben, um die totale Differenzierbarkeit einer Funktion zu beweisen, ist die Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen zu zeigen. Wie kann man die totale Differenzierbarkeit zeigen, wenn die Funktion aber nicht stetig differenzierbar ist?

Hier ist ein Beispiel:

f : ℝ^{2} \to ℝ m i t :

f (x) = {| x |}_{e}^{2} \cdot sin {| x |}_{e}^{- 1},

falls

x \neq 0

und

f (x) = 0,

falls

x = 0

Zu zeigen ist, dass

f

überall differenzierbar ist und als Hinweis wird gesagt, dass

f

nicht stetig partiell differenzierbar ist.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

06:54 Uhr, 27.09.2018

Hallo,

"Wie kann man die totale Differenzierbarkeit zeigen, wenn die Funktion aber nicht stetig differenzierbar ist?"

Indem man unmittelbar die Definition der Differenzierbarkeit überprüft.

Gruß pwm

traurigerstudent

13:33 Uhr, 28.09.2018

Die Definition lautet:

Eine Abbildung

f : V \to W

ist in einem Punkt a total differenzierbar, wenn eine stetige lineare Abbildung

L : V \to W

existiert, so dass:

lim_{h \to 0} \frac{{| (f (a + h) - f (a) - L \cdot h) |}_{W}}{{| h |}_{V}} = 0

Muss ich einfach einsetzen und schauen ob dieser Limes existiert?

\frac{\frac{{| a + h |}^{2}}{sin (| a + h |)} - \frac{{| a |}^{2}}{sin (| a |)} - L \cdot h}{| h |}

ermanus aktiv_icon

08:13 Uhr, 30.09.2018

Hallo,
ich denke, dass deine Definition von

f

falsch ist.
Es ist für

x \neq 0

nicht

∣ x ∣^{2} (\sin (∣ x ∣)^{- 1}

, sondern

∣ x ∣^{2} \sin (∣ x ∣^{- 1})

gemeint.
Deine Interpretation von

f

wäre ja an allen Stellen mit

∣ x ∣ = k π

mit

k \in ℤ, k \neq 0

nicht definiert und auch nicht stetig
ergänzbar.
Gruß ermanus

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