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Totale Ableitung vs. partielle

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Indifferenzkurve, Konvexität, Partielle Differentialgleichungen, totales Differenzial

 
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Karpador

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21:16 Uhr, 10.12.2015

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Guten Tag. Ich studiere VWL und hätte da eine Frage bzgl. dem Unterschied zwischen totaler Ableitung und partieller:

Wir sollen die Konvexität/Nicht-Konvexität verschiedener Nutzenfunktionen nachweisen, indem wir zeigen, dass die totale Ableitung der Grenzrate der Substitution (GRS) nach einer Variablen <0 ist (oder eben nicht).
Bisher hieß es immer, der Unterschied zwischen df(x)/dx und delf(x)/delx sei ein rein notatieller, der betonen soll, dass bei letzterem nach nur einer aus mehreren Variablen abgeleitet wird.
Nun habe ich bsw. die Funktion x⋅y2⋅(x+y), deren GRS, und zwar von y nach x, lautet: (yx)2

So nun habe ich Folgendes Problem: wäre der Unterschied nur rein notatiell, wäre
d(f(x))dx=∂(f(x))∂x.
Aber rechnen ergibt:
delGRS/delx =-2(y2x3) und, wenn man die Tatsache dydx =-GRS nutzt:
dGRS=(delGRS/delx)dx+(delGRS/dely)dy würde umgeformt zu

dGRS/dx= -2(y3+y2xx4), was ein Unterschied ist.

Meine Frage daher: Was ist der Unterschied zwischen den beiden Ableitungen oder besser (und das geht an die Ökonomen unter euch :-D) ) warum macht dieser Unterschied im Grundstudium offenbar selten einen Unterschied ? (ich meine, bisher bin ich ja ganz gut damit gefahren, nicht zwischen den Ableitungen zu unterscheiden...)

Ich bräuchte also eine Intuition für diesen beiden Dinge: Was ist der Unterschied ? und (an die Ökonomen) warum braucht man den wohl so selten ?

Vielen Dank schonmal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

21:53 Uhr, 10.12.2015

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aus wikipedia mit physikalischen Hintergrund:

Während bei der partiellen Ableitung ∂f∂t
nach der Zeit nur die explizite Abhängigkeit der Funktion f von t berücksichtigt wird und alle anderen Variablen konstant gehalten werden, berücksichtigt die totale Ableitung dfdt
auch die indirekte (oder implizite) Abhängigkeit von t, die dadurch zustande kommt, dass längs der Bahnbewegung die Ortskoordinaten von der Zeit abhängen.
Karpador

Karpador aktiv_icon

01:41 Uhr, 11.12.2015

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Vielen Dank für die Antwort :-) . Ich merke gerade, wo mein Problem liegt, daher muss ich die Frage neu stellen:
Wenn sich die partielle Ableitung und die totale Ableitung unterscheiden, müssen indirekte Effekte vorliegen, die die restlichen Variablen beeinflussen und die bei der partiellen Ableitung aber ignoriert werden. Korrekt soweit ?
Dann lautet meine Frage einfach: Wo hängt die GRS (von y auf x) zusätzlich noch indirekt von x ab ? Also GRS=GRS(y(x),x) ?
Ich wüsste nämlich nicht, warum y von x abhängen sollte...

Vielen Dank!