Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Totale Differenzierbarkeit einer Funktion

Totale Differenzierbarkeit einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Differenzieren, Funktion, totale Differenzierbarkeit

VA!13 aktiv_icon

15:39 Uhr, 05.08.2016

Hallo, ich schreibe bald eine Klausur ein der Analysis und habe noch nicht so ganz verstanden, wie man die Definition der totalen Differenzierbarkeit anwendet, vielleicht kann mir ja hier jemand helfen.
Wir haben folgende Definition zur totalen Differenzierbarkeit kennengelernt:

Ω \subset ℝ^{m}

offen, die Funktion

f : Ω \to ℝ^{n}

heißt in

x_{0} \in Ω

total oder vollständig differenzierbar, falls eine lineare Abbildung

h \mapsto A \circ h^{T} \in ℝ^{n}

mit

A \in ℝ^{n x m}

existiert mit

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + A \circ h^{T} + F (x_{0}, h) \cdot h^{T}

mit einem Restterm

F (x_{0}, h) \in ℝ^{n x m},

sodass

lim_{h \to \infty, h \neq 0} F (x_{0}, h) = 0

.

Jetzt soll man zum Beispiel zeigen, dass

f (x, y) := x^{2} y

in jedem Punkt aus

(x_{0}, y_{0}) \in ℝ

vollständig differenzierbar ist.

Könnte mir das vielleicht jemand exemplarisch zeigen ?

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Shipwater aktiv_icon

23:32 Uhr, 05.08.2016

Partielle Differenzierbarkeit zusammen mit Stetigkeit der partiellen Ableitungen reicht schon aus für totale Differenzierbarkeit. Hier sind die partiellen Ableitungen leicht zu bestimmen und diese sind auch offensichtlich stetig.
Man kann aber auch mit der Definition arbeiten. Wegen

f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 2 x_{0} y_{0}

und

f_{y} (x_{0}, y_{0}) = x_{0}^{2}

kommt nur

A = (2 x_{0} y_{0}, x_{0}^{2})

in Frage. Dann folgt

\frac{| f (x_{0} + h_{1}, y_{0} + h_{2}) - f (x_{0}, y_{0}) - A h |}{| | h | |} = \frac{| {(x_{0} + h_{1})}^{2} (y_{0} + h_{2}) - x_{0}^{2} y_{0} - 2 x_{0} y_{0} h_{1} - x_{0}^{2} h_{2} |}{\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}}

= \frac{| (x_{0}^{2} + 2 x_{0} h_{1} + h_{1}^{2}) (y_{0} + h_{2}) - x_{0}^{2} y_{0} - 2 x_{0} y_{0} h_{1} - x_{0}^{2} h_{2} |}{\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}} = \frac{| 2 x_{0} h_{1} h_{2} + h_{1}^{2} y_{0} + h_{1}^{2} h_{2} |}{\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}}

\leq 2 | x_{0} | | h_{1} | + | y_{0} | | h_{1} | + h_{1}^{2} \to 0

falls

h = (h_{1}, h_{2}) \to (0,0)

VA!13 aktiv_icon

11:22 Uhr, 06.08.2016

Also reicht es einfach die partiellen Ableitungen zu bilden und zu zeigen, dass sie stetig sind ?
Ich hab immer gedacht, wenn diese Voraussetzungen nicht gelten, dann ist die Funktion auch nicht total differenzierbar. Aber andersrum kann man das nicht sagen.

Shipwater aktiv_icon

12:04 Uhr, 06.08.2016

Ja, das reicht. Lies dir einfach mal das hier durch: de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit#Zusammenh.C3.A4nge_zwischen_den_verschiedenen_Differenzierbarkeitsbegriffen

VA!13 aktiv_icon

12:15 Uhr, 06.08.2016

Okay, vielen Dank für die Hilfe!

Shipwater aktiv_icon

12:27 Uhr, 06.08.2016

Keine Ursache.

1319054

1319013

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?