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Totale Differenzierbarkeit in (0,0)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Analysis, Differentiation, Funktion, Stetigkeit

hummy42 aktiv_icon

14:40 Uhr, 13.09.2015

Hallo,

ich habe die Funktion

f (x, y) = \frac{y^{3}}{x^{2} + 2 y^{2}}

gegeben.
Die Aufgabe war, partielle Ableitungen in (0,0) zu bestimmen (kein Problem), alle Richtungen anzugeben, in die die Funktion in (0,0) differenzierbar ist (auch alles klar, die Funktion ist in alle Richtungen diffbar) und zu überprüfen, ob die Funktion in (0,0) total differenzierbar ist.
Nun meine Frage. Ansatz ist ja zu vermuten, dass dies nicht der Fall ist, und Nullfolgen für

x

und

y

zu finden, für die die totale Ableitung nicht

(0, \frac{1}{2})

ist. Die habe ich bisher aber noch nicht gefunden. Im anderen Fall, wenn die totale Ableitung existiert, wie kann ich das denn zeigen?

Viele Grüße
hummy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

14:48 Uhr, 13.09.2015

"Im anderen Fall, wenn die totale Ableitung existiert, wie kann ich das denn zeigen?"

Per Definition, also zu zeigen wäre

f (x + h_{1}, y + h_{2}) - f (x, y) - \frac{d f}{d x} (x, y) h_{1} - \frac{d f}{d x} (x, y) h_{2} = o (\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}))}

, bei

(h_{1}, h_{2}) \to (0, 0)

.

In diesem Fall existiert die totale Ableitung nicht, weil die Funktion nicht mal stetig ist.
Dazu kann man die Folgen

(1 / n, 1 / n)

und

(1 / n^{3}, 1 / n^{2})

betrachten.

hummy42 aktiv_icon

15:07 Uhr, 13.09.2015

Danke für deine Antwort.
Ich hatte noch vergessen zu schreiben, dass per Definition

f (x, y) = (0, 0)

gilt.
Also, ich setze

(1 / n, 1 / n)

in f ein und erhalte

\frac{\frac{1}{n^{3}}}{\frac{1}{n^{2}} + 2 \frac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{3 n} \to 0

Und wenn ich

(1 / n^{3}, 1 / n^{2})

einsetze, erhalte ich

\frac{\frac{1}{n^{6}}}{\frac{1}{n^{6}} + \frac{2}{n^{4}}} = \frac{1}{2 n^{2} + 1} \to 0 .

Und jetzt?

DrBoogie aktiv_icon

15:10 Uhr, 13.09.2015

Ah sorry, hab mich verkuckt, die Funktion ist doch stetig.

Ich schreibe später.

hummy42 aktiv_icon

17:04 Uhr, 13.09.2015

Ok, dann warte ich.
Eine Methode, um zu zeigen, dass die Funktion in (0,0) nicht diffbar ist, ist doch nach dem Satz von Schwartz zu zeigen, dass

D_{1} D_{2} F (0, 0) \neq D_{2} D_{1} F (0, 0)

ist, richtig?
Das habe ich versucht, beim ersten habe ich

lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 / 2}{h} = - \infty

, beim zweiten als Grenzwert 0 herausbekommen. Stimmt das und reicht das als Lösung?

DrBoogie aktiv_icon

18:46 Uhr, 13.09.2015

Satz von Schwartz erfordert doch die stetige Diff-barkeit, nicht nur einfache Diff-barkeit. Also sehe ich nicht, wie man ihn hier nutzen kann.

Aber es geht per Definition.
Wäre

f

total diff-bar in

(0, 0)

,
so wäre

\frac{h_{2}^{3}}{h_{1}^{2} + 2 h_{2}^{2}} - \frac{h_{2}}{2} = o (\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}})

(hier habe ich die Definition von oben auf den Punkt

(0, 0)

angewandt).
Das muss auch für den besonderen Fall

h_{2} = h_{1}

gelten, aber in diesem Fall
ist dann

\frac{h_{2}^{3}}{h_{1}^{2} + 2 h_{2}^{2}} - \frac{h_{2}}{2} = \frac{h_{1}^{3}}{3 h_{1}^{2}} - \frac{h_{1}}{2} = - \frac{h_{1}}{6} = O (h_{1}) \neq o (\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}})

,
denn im Fall

h_{2} = h_{1}

gilt

\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}} = \sqrt{2 h_{1}^{2}} = O (h_{1})

.

Damit ist

f

nicht diff-bar in

(0, 0)

DrBoogie aktiv_icon

19:06 Uhr, 13.09.2015

Eine andere Methode wäre, eine passende Richtungsableitung zu bilden.
denn für eine total diff-bare Funktion muss die Richungsableitung

D_{v} f

mit der Formel

D_{v} f (x, y) = \frac{d f}{d x} (x, y) \cdot v_{1} + \frac{d f}{d y} (x, y) \cdot v_{2}

übereinstimmen, wo

v = (v_{1}, v_{2})

ein Vektor ist (ich schreibe es nicht in allgemeiner Form, sondern zweidimensional, Einfachheit halber).

Für unsere konkrete Funktion im Punkt

(0, 0)

würde dann

D_{v} f (0, 0) = 0.5 v_{2}

gelten.
Andererseits ist die Richtungsableitung in Richtung

(1, 1)

per Definition

lim_{h \to 0} \frac{h^{3}}{3 h^{3}} = \frac{1}{3} \neq \frac{1}{2} = 0.5 v_{2}

.
Diese Diskrepanz zeigt, dass

f

(0, 0)

nicht total diff-bar sein kann.

hummy42 aktiv_icon

19:07 Uhr, 13.09.2015

Ich glaube, ich verstehe die Idee dahinter, allerdings ist mir die o-Notation nicht sehr geläufig. Kannst du vielleicht noch einmal den Term in der

lim_{h \to 0}

Schreibweise umschreiben?
Danke!

hummy42 aktiv_icon

19:09 Uhr, 13.09.2015

Danke für deine zweite Antwort. Der Ansatz mit den Richtungsableitungen ist für mich deutlich zugänglicher, in Zukunft werde ich dann versuchen, solche Aufgaben auf diese Weise zu lösen.

DrBoogie aktiv_icon

19:17 Uhr, 13.09.2015

Ohne

O, o

-Notation müsste man schreiben:

lim_{(h_{1}, h_{2}) \to (0, 0)} \frac{f (x + h_{1}, y + h_{2}) - f (x, y) - \frac{d f}{d x} (x, y) h_{1} - \frac{d f}{d y} (x, y) h_{2}}{\sqrt{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}} = 0

, das wäre die Definition der totalen Diff-barkeit.
Für unsere Funktion im Punkt

(0, 0)

und für die Bedingung

h_{1} = h_{2}

würde daraus folgen

lim_{(h_{1}, h_{1}) \to (0, 0)} \frac{f (h_{1}, h_{1}) - f (x, y) - \frac{d f}{d x} (0, 0) h_{1} - \frac{d f}{d y} (0, 0) h_{1}}{\sqrt{2 h_{1}^{2}}} = 0

bzw. konkret

lim_{(h_{1}, h_{1}) \to (0, 0)} \frac{\frac{h_{1}^{3}}{3 h_{1}^{2}} - 0.5 h_{1}}{\sqrt{2 h_{1}^{2}}} = 0

und das ist eben falsch, denn

lim_{(h_{1}, h_{1}) \to (0, 0)} \frac{\frac{h_{1}^{3}}{3 h_{1}^{2}} - 0.5 h_{1}}{\sqrt{2 h_{1}^{2}}} = lim_{(h_{1}, h_{1}) \to (0, 0)} \frac{- \frac{h_{1}}{6}}{\sqrt{2} ∣ h_{1} ∣}

ist nicht

0

, eigentlich existiert er gar nicht (linksseitiger Grenzwert ist

- 1 / 6 \sqrt{2}

und rechtsseitiger Greznwert ist

1 / 6 \sqrt{2}

hummy42 aktiv_icon

19:22 Uhr, 13.09.2015

Vielen Dank, in dieser Schreibweise verstehe ich, was passiert ist. Auch wenn ich zugeben muss, dass die o-Notation in der Tat kompakter und übersichtlicher ist.

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