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Totale Differenzierbarkeit mehrere Variablen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: mehrdimensionale Analysis, mehrere Variablen, Stetigkeit, totale Differenzierbarkeit

Dobby-Fanbase aktiv_icon

20:20 Uhr, 18.12.2017

Hallo Leute,

ich habe mal wieder ein paar ungeklärte Fragen bezüglich der totalen Differenzierbarkeit.
Hier meine Aufgabe:
Seien

f, g : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

Funktionen, die durch

f (x_{1}, x_{2}) := (2 x_{1}, x_{1}^{2} x_{2})

g (x_{1}, x_{2}) := (e^{x_{1}^{2} \cdot x_{2}}, sin (x_{1}) cos (x_{2}^{3})),

für alle

(x_{1}, x_{2}) \in ℝ^{2}

gegeben sind.

(i)

Geben Sie die Abbildungen

g \circ f

und

f \circ g

an und zeigen Sie, dass diese überall
total differenzierbar sind.

(ii) Berechnen Sie die totale Ableitungen von

g \circ f

und

f \circ g

im Punkt

x^{0} := (x_{1}^{0}, x_{2}^{0}) \in ℝ^{2}

unter expliziter Benutzung der mehrdimensionalen Kettenregel.

Also nun zu meinem Problem. Ich hänge leider schon bei dem ersten Teil der Aufgabe fest.In unserem Skript ist die Formel für tot. Differenzierbarkeit wie folgt aufgeschrieben:

Sei

D \subset ℝ^{n}

offen. Eine Funktion

f : D \to ℝ^{m}

heißt in

ξ \in D

(total) diffbar, falls es eine lineare Abbildung

g (x) = A \cdot (x - ξ) + f (ξ)

mit

A \in ℝ^{m \times n}

gibt, so dass

lim_{x \to ξ} (f (x) - \frac{A (x - ξ) + f (ξ)}{| x - ξ |}) = 0

.

Da ich diese Definition leider nicht verstehe, wollte ich die totale Differenzierbarkeit zeigen/widerlegen, in dem ich die Funktion auf Stetigkeit und partielle differenzierbarkeit überprüfe (da stetig partiell diffbar

\Rightarrow

totale Differenzierbarkeit).

Nun zu meiner Idee:
Ich habe die Verknüpfung

g \circ f = (e^{4 x_{1}^{4} x_{2}}, sin (2 x_{1}) cos (x_{2}^{3}))

berechnet und wollte nun die Jacobi-Matrix berechnen und schauen, ob die Ableitungen der Funktion existieren ( was ja automatisch bedeuteten würde,dass sie partiell Differenzierbar ist) und diese in der Jacobi-Matrix auf Stetigkeit prüfen.

Kann mir jemand sagen ob der Ansatz schon einmal richtig ist oder liege ich da komplett daneben? Bin mir wirklich unsicher und freue mich über jegliche Hilfe und Kritk :-)

Gruß,
Dobby

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

PhantomV aktiv_icon

20:56 Uhr, 19.12.2017

Hi,

die Definition des totalen Differentials passt so nicht ganz. Schau nochmal in deinen Unterlagen nach. Für totale diff'barkeit berechnest du die partiellen Ableitungen und zeigst dass diese stetig sind. Diese dann entsprechend in die Jacobi Matrix schreiben. So wolltest du es vermutlich machen bist also auf dem richtigen Weg.

Gruß PhantomV

Dobby-Fanbase aktiv_icon

21:14 Uhr, 19.12.2017

Danke schon einmal für die Antwort. Dann bin ich wenigstens beruhigt,dass ein Teil richtig ist.

Die Definition habe ich nur falsch abgetippt und es müsste eigentlich

lim_{x \to ξ} (\frac{f (x) - (A (x - ξ) + f (ξ))}{| x - ξ |}) = 0

heißen.

Teil (ii) habe ich dann einfach nur die Verknüpfungen

g \circ f

und

f \circ g

ausgerechnet und darauf dann die mehrdimensionale Kettenregel angewandt. Das müsste geklappt haben. :-)

Besten Dank.

Gruß,
Dobby

pwmeyer aktiv_icon

21:18 Uhr, 19.12.2017

Aber Du hast

g \circ f

falsch berechnet.
Es ist ja

g \circ f (x_{1}, x_{2}) = g (f (x_{1}, x_{2})) = g (2 \cdot x_{1}, x_{1}^{2} \cdot x_{2}) = . .

.

Gruß pwm

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