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Totales Differential 2. Ordnung, f(x,y)

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: totales differential

Schwarzfahrer88 aktiv_icon

18:46 Uhr, 23.04.2008

Hallo ihr Leute ich habe heute versucht ein totales Differential 2. Ordnung herzuleiten. Aber ich kam nicht zu der Standartlösung.

Standart: $d^{2} z = \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} * d^{2} x + 2 * \frac{\partial^{2} z}{\partial {x \partial y}^{}} * d x d y + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} * d^{2} y$

Meine Lösung: $d^{2} z = \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} * d^{2} x + 2 * \frac{\partial^{2} z}{\partial {x \partial y}^{}} * d x d y + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} * d^{2} y + \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial x}$

Meine Lösung stammt aus folgenden Überlegungen:

$d z = \frac{\partial z}{\partial x} * d x + \frac{\partial z}{\partial y} * d y d^{2} z = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial}{\partial x} * d x + \frac{\partial}{\partial y} * d y) * d x + \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial}{\partial x} * d x + \frac{\partial}{\partial y} * d y) * d y = (\frac{\partial^{2} z}{{\partial x}^{2}} * d x + \frac{\partial z}{\partial x} * \frac{d x}{d x} + \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} * d y + \frac{\partial z}{\partial y} * \frac{d y}{d x}) * d x + (\frac{\partial^{2} z}{{\partial y}^{2}} * d y + \frac{\partial z}{\partial x} * \frac{d x}{d y} + \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} * d x + \frac{\partial z}{\partial y} * \frac{d y}{d y}) * d y d a \frac{d x}{d x} = 1, \frac{d y}{d y} = 1 u n d \frac{d y}{d x}, \frac{d x}{d y} = 0 e r g i b t s i c h m e i n e L ö s u n g .$

Wieso komme ich nicht zur Standart Lösung und wieso funktioniert hier latex nicht??

$ $ hat nicht geholfen.

Und wieso wird der Formeleditorkram so scheiße dargestellt?

Dankeschön

xilef aktiv_icon

21:25 Uhr, 23.04.2008

ja, das sind alles wesentliche fragen.
die letzten beiden kann ich nicht erschoepfend beantworten, deswegen zur ersten:

$z = z (x, y)$

$d z = \frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y$

soweit klar.
also zweite ableitung:

$d^{2} z = d (\frac{\partial z}{\partial x} d x + \frac{\partial z}{\partial y} d y)$ (1)
$= \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} d^{2} x + \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} d x d y + \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} d x d y + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} d^{2} y$ (2)
$= \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} d^{2} x + 2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} d x d y + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} d^{2} y$

dabei enstehen die ersten beide terme auf der rechten seite von (2) aus dem ersten term von (1) und so weiter...

Schwarzfahrer88 aktiv_icon

22:42 Uhr, 23.04.2008

Wieso muss denn bei dem $R \cdot d x$ keine Produktregel angewandt werden und wieso meinte der Prof das das schwierig sei, das ist doch relativ simpel.

Und wieso kann man bei onlinemathe.de keine ordenlichen gleichungen hinschreiben, wir sind doch hier bei einem MATHEFORUM.

Danke $〉$

xilef aktiv_icon

23:55 Uhr, 23.04.2008

also die produktregel umfasst ja nur terme, die die abhaengigkeiten beinhalten, nach denen abzuleiten ist. deswegen muss man dx nicht weiter differenzieren.

so negativsuggestionen vom prof sind natuerlich hinterhaeltig, aber wenn man es einmal higeschrieben hat, ist's n zweizeiler

Schwarzfahrer88 aktiv_icon

09:06 Uhr, 24.04.2008

$d x$ oder $d y$ ist ja aber dx=(X-Xo) oder irre ich mich da??

xilef aktiv_icon

11:29 Uhr, 24.04.2008

nein, aber erstens geht x0 gegen 0 und ist auch keine zusaetzliche abhaengigkeit. das increment des totalen differentials dx oder dy beschreibt ja schon die infinitesimale aenderung.
betrachtete man z.b. die totale zeitabhaengigkeit

$d z / d t$

wuerde man

$d x$ zu $d x / d t$

und

$d y$ zu $d y / d t$

machen

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