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Totales Differential einer Funktion untersuchen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: totale differential

Bartholome aktiv_icon

18:24 Uhr, 18.08.2014

Hallo liebe Leute,
Verstehe eine Aufgabe nicht.
Habe zwei Differentiale gegeben: (2xy-2pi*cos(2pi*x))dx+(x^2-3y^2-pi*cos(pi*y))dy und
(xy)dx+(x^2)dy.
Jetzt soll ich untersuchen, ob es jeweils das vollständige Differential einer Funktion ist und diese gegebenfalls berechnen. Habe Aufgaben bis jetzt nur bearbeitet, in welchen ich die partiellen Ableitungen gebildet habe und diese dann zum totalen Differential addiert habe.Hierbei sind diese bereits gegeben, vlt integrieren?
Danke im Voraus.
MFG Bartholomeus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

pleindespoir aktiv_icon

19:19 Uhr, 18.08.2014

Sieht mir auch so aus, als wäre wohl die Stammfunktion gesucht.

Yokozuna aktiv_icon

19:35 Uhr, 18.08.2014

Hallo,

Du hast ja folgendes dastehen:

p (x, y) \cdot d x + q (x, y) \cdot d y = 0

Das ist genau dann ein totales (oder vollständiges oder exaktes) Differential, wenn gilt:

\frac{\partial}{\partial y} p (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} q (x, y)

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, kann man dieses totale Differential integrieren.
Ist die Bedingung nicht erfüllt, kann man erst mal nicht integrieren. Aber man kann aus dem Differential ein totales Differential machen, wenn man einen sogenannten integrierenden Faktor

μ (x, y)

finden kann, so dass

p (x, y) \cdot μ (x, y) \cdot d x + q (x, y) \cdot μ (x, y) = 0

ein totales Differential ist.

Viele Grüße
Yokozuna

anonymous

19:41 Uhr, 18.08.2014

Ich vermute dringend:
Du hast in der Aufgabenstellung um

18 : 24 h

nur Ausdrücke niedergeschrieben.
Diese mögen zwar totale Differenziale sein.
Aber Ausdrücke sind noch keine Aussage.

Zur Erläuterung:

x \cdot y \cdot d x + x^{2} \cdot d y

ist ein Ausdruck,

x \cdot y \cdot d x + x^{2} \cdot d y = 0

ist eine Gleichung.
Erst aus einer Gleichung, bzw. aus deren Aussage kann man mathemetisch etwas schließen, zB. auf die Stammfunktion schließen.

Sollte die Aufgabe auch tatsächlich

x \cdot y \cdot d x + x^{2} \cdot d y = 0

heissen, und du hast das "=0" nur unterschlagen,
dann ist die Stammfunktion ja leicht berechenbar (Stichwort: Trennung der Variablen).

Sollten dagegen nur die benannten Ausdrücke gegeben sein, wie soll man daraus je eine Stammfunktion bestimmen können ???

Bartholome aktiv_icon

07:17 Uhr, 20.08.2014

Danke erstmal an alle drei.
das "=0" steht da nicht bei.Trotzdem denke ich dass man die Stammfunktion bilden muss.
Yokozuna ich weiss nicht genau ob ich von der Stammfunktion die partiellen Ableitungen bilden soll oder von dem was ich da gegeben habe. Es muss ja gelten

p (x, y) = q (x, y)

.
Habe jetzt

p (x, y)

nach

y

abgeleitet, da kommt

2 x

raus
nun

q (x, y)

nach

x

abgeleitet, da kommt ebenso

2 x

raus.
Damit wäre die Bedingugng für ein totales Differential erfüllt.
Jetzt bildete ich die Stammfunktion, ich erhalte : f(x,y):=x^2*y-sin(2pi*x)+y*x^2-y^3-sin(pi*y).
Zu der zweiten: (xy)dx+(x^2)dy
Hier

p (x, y) = (x \cdot y) d x, q (x, y) = (x^{2}) d y

p (x, y)

nach

y

ergibt

: x

q (x, y)

nach

x

ergibt

: 2 x

daraus folgt Bedingung nicht erfüllt da nicht gleich.
Ist das soweit korrekt?
MFG Bartholome

Yokozuna aktiv_icon

08:05 Uhr, 20.08.2014

Ich meine nicht die Stammfunktion (da gibt es ja bis auf die Integrationskonstante nur eine), sondern das was gegeben ist. Bei der 1. Aufgabe ist

p (x, y) = 2 \cdot x \cdot y - 2 \cdot π \cdot cos (2 \cdot π \cdot x)

q (x, y) = x^{2} - 3 \cdot y^{2} - π \cdot cos (π \cdot y)

Die sind natürlich nicht gleich. Es muss gelten

\frac{\partial}{\partial y} p (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} q (x, y)

Die Bedingungen, wie Du sie geprüft hast, sind ok. Bei der Stammfunktion hast Du glaube ich ein

x^{2} \cdot y

zuviel. Ich habe

f (x, y) = x^{2} \cdot y - sin (2 \cdot π \cdot x) - y^{3} - sin (π \cdot y) = C

Viele Grüße
Yokozuna

Bartholome aktiv_icon

08:39 Uhr, 20.08.2014

Danke Yokozuna hast mir gut geholfen.
Wenn ich

p (x, y)

nach

x

integriere erhalte ich: x^2*y-sin(2pi*x) und
wenn ich

q (x, y)

nach

y

integriere erhalte ich:

- sin (π \cdot y) - y^{3} + x^{2} \cdot y

oder muss ich alles nach

x

bzw. nach

y

integrieren?
MFG Bartholome

Yokozuna aktiv_icon

14:50 Uhr, 20.08.2014

Sorry, dass ich mich erst jetzt melde. Ich musste heute früh weg und bin erst jetzt wieder nach Hause gekommen.

Also das funktioniert nicht so, dass man einmal

p (x, y)

nach

x

und

q (x, y)

nach

y

integriert und die beiden Lösungen dann addiert. Man fängt mit einer der beiden Funktionen an. Wir nehmen mal

p (x, y)

und das integrieren wir nach

x :

\int (2 \cdot x \cdot y - 2 \cdot π \cdot cos (2 \cdot π \cdot x)) \cdot d x = x^{2} \cdot y - sin (2 \cdot π \cdot x) + φ (y)

Diese noch unbekannte Funktion

φ (y)

übernimmt die Rolle der Integrationskonstanten, denn man dieses Integrationsergebnis partiell nach

x

ableitet, entfällt diese Funktion

φ (y)

und wir erhalten wieder

p (x, y)

.
Wir haben also nun

f (x, y)

bis auf diese unbekannte Funktion

φ (y)

bestimmt:

f (x, y) = x^{2} \cdot y - sin (2 \cdot π \cdot x) + φ (y)

Nun wissen wir aber, wenn wir

f (x, y)

partiell nach

y

ableiten, erhalten wir

q (x, y),

also

\frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = q (x, y)

Nun ist

\frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} \cdot y - sin (2 \cdot π \cdot x) + φ (y)) = x^{2} + \frac{d φ}{d y}

und dass muss gleich

q (x, y)

sein, also

x^{2} + \frac{d φ}{d y} = x^{2} - 3 \cdot y^{2} - π \cdot cos (π \cdot y)

Das

x^{2}

fällt dann heraus und wir erhalten

\frac{d φ}{d y} = - 3 \cdot y^{2} - π \cdot cos (π \cdot y) \Rightarrow

φ (y) = \int (- 3 \cdot y^{2} - π \cdot cos (π \cdot y)) \cdot d y = - y^{3} - sin (π \cdot y)

Damit erhalten wir insgesamt

f (x, y) = x^{2} \cdot y - sin (2 \cdot π \cdot x) + φ (y) = f (x, y) = x^{2} \cdot y - sin (2 \cdot π \cdot x) - y^{3} - sin (π \cdot y)

Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir zuerst mit

q (x, y)

anfangen:

f (x, y) = \int (x^{2} - 3 \cdot y^{2} - π \cdot cos (π \cdot y)) \cdot d y = x^{2} \cdot y - y^{3} - sin (π \cdot y) + ψ (x)

diesmal mit einer unbekannten Funktion

ψ (x)

. Wenn wir dieses Ergebnis partiell nach

x

ableiten, erhalten wir

p (x, y),

also

2 \cdot x \cdot y + \frac{d ψ}{d x} = 2 \cdot x \cdot y - 2 \cdot π \cdot cos (2 \cdot π \cdot x)

Nun fällt

2 \cdot x \cdot y

heraus und wir erhalten

ψ (x) = \int (- 2 \cdot π \cdot cos (2 \cdot π \cdot x)) \cdot d x = - sin (2 \cdot π \cdot x)

Insgesamt erhalten wir

f (x, y) = x^{2} \cdot y - y^{3} - sin (π \cdot y) + ψ (x) = x^{2} \cdot y - y^{3} - sin (π \cdot y) - sin (2 \cdot π \cdot x)

und das ist das gleiche Ergebnis wie zuvor.

Viele Grüße
Yokozuna

Bartholome aktiv_icon

21:31 Uhr, 25.08.2014

Danke dir vielmals Yokozuna, dass du dir die Zeit genommen hast mir zu helfen :-)
Hab jetzt nicht mit einer weiteren Nachricht gerechnet, deshalb die späte Antwort,SRY.
MFG
Bartholome

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