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Totozwölfer

Schüler

Tags: Wahrscheinlichkeit

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18:39 Uhr, 10.06.2016

Beim Fußballtoto

1,2, x

muss für

12

Spiel der Spielausgang erraten werden.

(3

Möglichkeiten). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass jemand, der zufällig ankreuzt, einen Zwölfer macht oder einen Elfer macht?
Meine Überlegungen:
Es gibt 3 Möglichkeiten des Ankreuzens:

1,2, x

Es sind

12

Spiele zu bewerten.
Also gibt es

3^{12}

Möglichkeiten!
Wer kann mir helfen?

Roman-22

18:53 Uhr, 10.06.2016

Du hast es im Grunde schon selbst beantwortet.

Es gibt

3^{12}

Möglichkeiten den Schein anzukreuzen und nur eine einzige davon ist komplett richtig ("Zwölfer").
Daher ist die WKT für einen 12er eben

\frac{1}{3^{12}}

oder ungefähr

0,000188 %

.

Für einen Elfer musst du dir einen Tipp aussuchen

(12

Möglichkeiten), den du falsch ankreuzt

(2

Möglichkeiten). Da gibts also schon

24

Möglichkeiten und die WKT dafür beträgt daher ungefähr "stolze"

0,0045 %

Du kannst das alles aber auch mit der Binomialverteilung "erschlagen".

p = \frac{1}{3}, n = 12, k = 12, 11, . .

R

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19:03 Uhr, 10.06.2016

Zuerst einmal vielen Dank für den Einstieg und die tolle Hilfe.
Bitte, wie setze ich den Elfer als Rechnung an?
Mir ist schon klar, warum es

24

Möglichkeiten gibt.

Würde mich natürlich sehr interessieren, wie das mit der Binomialverteilung geht. Diese habe ich noch nie verwendet. Danke für die Hilfe!

Ich probiere gerade mit der Formel:

K = \frac{n!}{(n - k)! k!} = \frac{12!}{1! \cdot (12 - 1)!}

Es kommt aber für den Elfer nicht das richtige Ergebnis heraus.

Roman-22

19:40 Uhr, 10.06.2016

>

Ich probiere gerade mit der Formel:
Dieses

K

nennt sich Binomialkoeffizient

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!},

ist für ganzzahlige

n \geq k

immer eine ganze Zahl und gibt zB die Anzahl der Möglichkeiten an, aus

n

Elementen

k

ohne "zurücklegen" auszuwählen, wobei die Reihenfolge unberücksichtigt bleibt

\to

"Kombination ohne Wiederholung"

Dein

(\begin{matrix} 11 \\ 1 \end{matrix})

liefert dir natürlich

12,

also die Anzahl der Möglichkeiten, aus den

12

Tipps einen zu wählen.

Binomialverteilung: Die WKT für des Eintreten des Ereignisses "Einzeltipp ist richtig" ist

p = \frac{1}{3}

Dir Größe der Stichprobe ist

n = 12

und für einen Lotto-Elfer ist die Anzahl, wie oft das Merkmal innerhalb der Stichprobe auftreten soll dann eben

k = 11

In der ersten Schreibweise von de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Definition_der_Binomialverteilung gilt dann

B (11 | \frac{1}{3},12) = (\begin{matrix} 12 \\ 11 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{3})}^{11} \cdot {(\frac{2}{3})}^{1} = \frac{24}{3^{12}} = \frac{8}{3^{11}} \approx 0,0045 %

R

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19:44 Uhr, 10.06.2016

Zuerst einmal wieder vielen Dank!
Beim Nachrechen von

\frac{1}{3^{12}} =

erhalten ich

0.00000188

Du hast

0,00188

. Rechnet man des Ergebnis in Prozent um, dann dividert man durch

100

.
Oder liege ich hier falsch? In der Lösung ist keine Prozentzahl angeben. Im Internet habe ich allerdings gesehen,dass immer am Ende in Prozent umgerechnet wird.

Gibt es beim Elfer nicht eine einfachere Berechnung als mit Hilfe der Bernoullikette?
Mit dieser komme ich natürlich auch zu deinem Ergebnis, du hast es mir ja super vorgerechnet. Aber es müsste doch eine einfachere Lösung geben, oder nicht?
Danke für deine Ratschläge und Hilfestellung!
LG

B

Roman-22

20:46 Uhr, 10.06.2016

>

Du hast

0,00188

.
Nein! Ich hatte

0,000188 %

geschrieben und das ist dasselbe wie

0,00000188

>

Rechnet man des Ergebnis in Prozent um, dann dividert man durch

100

. Oder liege ich hier falsch?
Letzteres!

10 % = 0,1

oder

0,001 = 0,1 %

% bedeutet ja nichts anderes als

\frac{1}{100},

also

5 % = 5 \cdot \frac{1}{100} = 0,05

>

In der Lösung ist keine Prozentzahl angeben. Im Internet habe ich allerdings gesehen,dass immer am Ende in Prozent umgerechnet wird.
Das ist Geschmackssache. Letztlich sind

0,000188 %

und

0.00000188

ganz genau dieselbe Zahl.

>

Aber es müsste doch eine einfachere Lösung geben, oder nicht?
Noch einfacher? Naja, vielleicht die, die ich dir zu Beginn gegeben hatte? Die Überlegung, dass es

24

Möglichkeiten gibt, genau einen Tipp falsch anzukreuzen.

R

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21:01 Uhr, 10.06.2016

Ich bedanke mich vielmals für deine Erklärungen. Du warst mir eine ganz große Hilfe. Danke, danke!
Erbitte noch eine kurze Meldung, damit ich die Aufgabe abschließen kann. Danke.
Begreife noch nicht ganz, warum

p

ein Drittel ist. Ich weiß, es gibt 3 Möglichkeiten zu tippen:

1,2

und

x

P

ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass das EReignis eintritt, das weiß ich schon.
LG

B

Roman-22

21:30 Uhr, 10.06.2016

>

Begreife noch nicht ganz, warum

p

ein Drittel ist. Ich weiß, es gibt 3 Möglichkeiten zu tippen
Eben, und nur genau einer von den Dreien ist der richtige Tipp. Daher ist die WKT, dass ein bestimmter Tipp richtig ist,

\frac{1}{3}

(ein "günstiger" Fall, drei "mögliche").

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21:32 Uhr, 10.06.2016

Lieber Roman-22!
Nochmals vielen Dank, jetzt ist alles klar. Ich danke dir nochmals für deine Geduld, danke!
LG

B

anonymous

23:41 Uhr, 10.06.2016

"Begreife noch nicht ganz, warum

p

ein Drittel ist."
Die ganzen Lösungen gehen davon aus, dass jede der Möglichkeiten 1,2,Unentschieden gleich wahrscheinlich ist. So, wie man das eben klassischerweise für Matheaufgaben annimmt.

Beim Fußballtoto ist diese Gleichwahrscheinlichkeit aber garnicht so selbstverständlich.
Es gibt bestimmt unzählige Statistiken darüber,

>

wie häufig ein Unentschieden auftritt,

>

und dass Heimspiele sicherlich signifikant leichter und öfter gewonnen werden, als Auswärtsspiele.

Aber keine Sorge, wenn dies eine Mathe-Hausaufgabe ist, und nichts weiter dabei steht, dann darfst du sicherlich vereinfachend davon ausgehen, dass eben jede Tippmöglichkeit gleich wahrscheinlich ist, also

p = \frac{1}{3}

anonymous

00:10 Uhr, 11.06.2016

Um all den Statistiken noch eine hinzuzufügen, habe ich eben mal für die jüngst vergangene DFB-Saison nachgeschaut:
1.Liga:

135

Heimsiege,

100

Auswärtssiege,

71

Unentschieden
2.Liga:

127

Heimsiege,

93

Auswärtssiege,

86

Unentschieden

Dass die Heimsiege wahrscheinlicher als die Auswärtssiege sind, ist naheliegend.
Die Unentschieden hätte ich jetzt fast noch unwahrscheinlicher eingeschätzt.

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11:52 Uhr, 12.06.2016

Danke, cositan. Vielen Dank für deine ausführlichen Darlegungen! Hoffe auf ein baldiges Wiedersehen im Forum!
LG

B

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