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Trägheitsmoment eines Ellipsoids

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Ellipsoid, Integration, volum, Volumenintegral, Z-Achse

 
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Softyx

Softyx

17:06 Uhr, 28.01.2013

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Hallo liebe OnlineMathematiker,

ich habe hier eine Aufgabe, womit ich einfach nicht zu potte komme, nicht nur da man weder in unserem Skript oder im Internet etwas findet, sondern auch weil die mir zu verfügungstehenden Bücher mir nicht viel über Volumenintegrale verzählen..

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Berechnen Sie das Trägheitsmoment V(x2+y2)dV bezüglich der z-Achse des Ellisoid (xa)2+(yb)2+(zc)2=1

Ich hatte bisjetzt verschiedene Ansätze, wobei alle mit der Verwendung von x=x/a,y=y/b und z=z/c starten.

1) Mit karthesischen Koordinaten:
Dadurch erhält man:
V((ax)2+(by)2)dV
wobei dV=abc*dxdydz
was sich über
abc*zyx(a2x2+b2y2)dxdydz
zu
abc*(a2zyx(x2)dxdydz+b2zyx(y2)dxdydz)
umformen lässt.

Hier stellt sich mir die Frage, ob das überhaupt so nachvollziehbar ist und über was ich dann überhaupt integrieren muss...

2) Mit Kugelkoordinaten:
Mit x=r*sin(θ)*cos(φ), y=r*sin(θ)*sin(φ) und z=r*cos(θ) erhält man:
V((a*r*sin(θ)*cos(φ))2+(b*r*sin(θ)*sin(φ))2)dV
wie transformiere ich jetzt aber das dV?
Ich habe schon gefunden, dass dV=r2*sin(θ)*drdθdφ für Kugelkoordinaten gilt, aber wie kommt man denn darauf?

Ich hoffe mir kann hier jemand helfen, denn irgendwie will ich dieses Ding jetzt endlich gelöst haben :-D)

Vielen Dank schon mal :-)
Softyx

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