Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Trägheitsmoment - inhomogene Dichte

Trägheitsmoment - inhomogene Dichte

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: dicht, inhomogen, Integration

roggenfaenger aktiv_icon

11:05 Uhr, 15.06.2015

Hallo,

ich möchte das Trägheitsmoment einer Kugel K mit Radius R berechnen (Drehachse: z),

es gilt

K = (x, y, z) \in R^{3} ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} < R^{2}

mit der Masseverteilung

ρ (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

hier mein Ergebnis

T = \int_{K} (x^{2} + y^{2}) ρ (x, y, z) = \int_{K} (x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2})

bevor ich Kugelkoordinaten einsetze eine kleine Nebenrechnung:

(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} z^{2} + y^{2} x^{2} + y^{4} + z^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + z^{2} (x^{2} + y^{2})

= (x^{2} + y^{2})^{2} + z^{2} (x^{2} + y^{2})

mit Kugelkoordinaten:

x = r s i n (θ) c o s (φ)

y = r s i n (θ) s i n (φ)

z = r c o s (θ)

\to = (r^{2} s i n^{2} (θ) c o s^{2} (φ) + r^{2} s i n^{2} (θ) s i n^{2} (φ))^{2} + r^{2} c o s^{2} (θ) (r^{2} s i n^{2} (θ) c o s^{2} (φ) + r^{2} s i n^{2} (θ) s i n^{2} (φ)

= (r^{2} s i n^{2} (θ))^{2} + r^{2} c o s (θ) (r^{2} s i n^{2} (θ)

= r^{4} s i n^{4} (θ) + r^{4} c o s^{2} (θ) s i n^{2} (θ) = r^{4} s i n^{2} (θ)

(Überall wurden Terme "

s i n^{2} (x) + c o s^{2} (x) = 1 "

ausgeklammert..)

mit Jacobi-Det. erhalte ich ein

r^{6}

...
kann das stimmen? Nach Integration

R^{7}

.
Dichte ist

M a s s e / V o l u m e n

- so kürzen sich

R^{3}

weg - also

R^{4}

. Die Einheit des Trägheitsmomentes ist jedoch

k g * m^{2}

.

Wo liegt der Fehler?
Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar.

Beste Grüße,

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

12:57 Uhr, 15.06.2015

Hallo
Ohne alles im Detail nachvollzogen zu haben:
Dein Knackpunkt liegt in der Dichte.
Die physikalische Einheit der Dichte ist

[

kg/(m^3)].
Wenn du die Dichte aus deiner mathematischen Formel fehlinterpretierst,

ρ (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

dann hat sie die Einheit

[m^{2}]

.
Um die Einheiten physikalisch stimmig zu machen, musst du die Dichte mit einem Einheitenterm korrigieren,

z . B . :

rho(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)*

[

kg/(m^5)]

roggenfaenger aktiv_icon

13:31 Uhr, 15.06.2015

...dann würde es ja passen.
Danke für deine Antwort!

1241167

1241131

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?