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Trainsformationsmatrix zu Transponierte

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Riemann99 aktiv_icon

14:55 Uhr, 15.09.2019

Hallo,
ich weiß leider keinen Ansatz für folgende Aufgabe:

Sei

A \in M_{n \times n} (ℂ)

. Zeigen Sie, dass es eine Matrix

S \in G L_{n} (ℂ)

mit

S^{- 1} \cdot A \cdot S = A^{T}

gibt.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Viele Grüße
Riemann99

Riemann99 aktiv_icon

16:04 Uhr, 15.09.2019

Ich kann euch nun mal meinen Lösungsvorschlag schicken. Könnte das so stimmen?

J_{A} = J_{A^{T}}

(das gilt nach einer vorherigen Aufgabe)

\Leftrightarrow \exists Q, R \in G L_{n} (ℂ) : Q^{- 1} \cdot A \cdot Q = R^{- 1} \cdot A^{T} \cdot R

\Leftrightarrow \exists Q, R \in G L_{n} (ℂ) : (R^{- 1})^{- 1} \cdot Q^{- 1} \cdot A \cdot Q \cdot R^{- 1} = A^{T}

\Leftrightarrow \exists Q, R \in G L_{n} (ℂ) : (Q \cdot R^{- 1})^{- 1} \cdot A \cdot Q \cdot R^{- 1} = A^{T}

\Leftrightarrow \exists S \in G L_{n} (ℂ) : S^{- 1} \cdot A \cdot S = A^{T}

ermanus aktiv_icon

11:24 Uhr, 16.09.2019

Hallo,
ja, so geht es!
Du solltest aber nur Folgepfeile und keine Äquivalenzpfeile
benutzen. Das ist ja auch das, was du beweisen willst. Ferner solltest du dem "Leser"
mitteilen, "woher

R

und

Q

kommen".
Du solltest etwas mehr Sprache verwenden, die deinen Gedankengang
klarer hervortreten lässt. Es gilt ja keineswegs "je formaler desto mathematischer".
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

11:31 Uhr, 16.09.2019

Noch kürzer kannst du so argumentieren.
Es bedeute

A \sim B

die Ähnlichkeit der Matrizen

A

und

B

.
Das ist eine Äquivalenzrelation. Daher gilt

A \sim J_{A} = J_{A^{T}} \sim A^{T}

. also

A \sim A^{T}

. Fertig!

ermanus aktiv_icon

15:07 Uhr, 17.09.2019

Wenn alles klar ist, bitte abhaken!

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