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Trajektorien im Phasenraum

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Schwingung

Kokowei aktiv_icon

18:02 Uhr, 26.10.2015

Hallo.

harmonischer Oszillator

H :

H = \frac{p^{2}}{2} m + 0.5 m (w^{2}) (x^{2}); k = m (w^{2})

x(t)=Acos(wt)+Bsin(wt)

Aus der Schule kannte ich nur

x (t) =

Acos(wt)

Kann mir jmnd. physikalisch interpretiert den Unterschied erklären?
Hat man dann zwei Schwingungsrichtungen oder wie?
Aber dann wäre zum Zeitpunkt

t = 0

nur der Cos-Anteil über 0.

Skizzieren Sie den Verlauf der potentiellen und kinetischen Energie als Funktion von

x

für eine beliebige Gesamtenergie

E,

beliebiges

k

und beliebige Masse

m

.

Da wollte ich das hier nutzen:

http://www.google.de/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Felearning.physik.uni-frankfurt.de%2Fdata%2FFB13-PhysikOnline%2Flm_data%2Flm_324%2Fdaten%2Fbild_4%2F09_0040.gif&imgrefurl=https%3A%2F%2Felearning.physik.uni-frankfurt.de%2Fdata%2FFB13-PhysikOnline%2Flm_data%2Flm_324%2Fdaten%2Fkap_8%2Fnode11.htm&h=329&w=571&tbnid=x5qol6qXgKNEOM%3A&docid=GiaIhjD2BBWnQM&ei=GkkuVueAHcXbU8i1mMAL&tbm=isch&iact=rc&uact=3&dur=433&page=1&start=0&ndsp=15&ved=0CCEQrQMwAWoVChMI5_Xgl7zgyAIVxe0UCh3IGga4

Kann mir jmnd. sagen was ich ändern muss?

Dann soll ich quantitativ die Phasenraumtrajektorie für folgende 3 Fälle
skizzieren:

1.Fall

A = 1, B = 0;

2.Fall

A = 0, B = 1;

3.Fall

A = B = 1

immer mit

w = m = 1;

Und dann soll ich noch den Fall mw ungleich 1 diskutieren.

Da brauche ich Hinblick auf den Ansatz.
Wie ich da drangehen muss.

Immer bitte visuell erklären

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

19:35 Uhr, 26.10.2015

Hallo
jede Dgl 2 rwe Ordnung hat 2 unabhängige Losungen. hier A*cos((/omeg*t) und

B \cdot sin (ω \cdot t)

wenn ihr nur

A \cdot cos (ω \cdot t)

hattet, also

x (0)) = A v (0) = 0

konntet ihr

z

B

den Fall nicht betrachten fass

x (0) = 0, v (o) = 1 \frac{m}{s}

. also ein Pendel was in der Ruhelage einen Schubs kriegt. oder

x (0) = A

aber mit "Anschwung " wie bei ner Schaukel, also

v (o) \neq 0

zu der Dgl

f ⋆ = - k \cdot f

sind sin und

cos

Funktionen Lösungen und damit deren Kombination, denn sin und

cos 2

mal abgeleitet ergeben ihr negatives
Dein Schulwissen bezieht sich also nur auf einen Sonderfall.
ausserdem kannst du natürlich in die Dgl einsetzen und feststellen, dass es stimmt!
manchmal formt man Asin(x)+Bcos(x) um zu C*sinx+\phi) oder

C' \cdot cos (x + ψ)

vielleicht hattest du nur das

ψ

deiner Schullösung vergessen?
xt)=A*sin(\omega*t))+Bcos(\omega*t)) schwingen natürlich beide in

x

Richtung,, das steht doch davor?
lass die mal für irgendein A und

B

die Kurve plotten, dann siehst du dass es wieder eine sin bzw.

cos

funktion ist nur der nullpunkt verschoben.
Gruß ledum

Kokowei aktiv_icon

21:48 Uhr, 26.10.2015

Jo, hab ich super verstanden, aber

was ist mit:

Dann soll ich quantitativ die Phasenraumtrajektorie für folgende 3 Fälle
skizzieren:

1.Fall

A = 1, B = 0;

2.Fall

A = 0, B = 1;

3.Fall

A = B = 1

immer mit

w = m = 1;

Und dann soll ich noch den Fall mw ungleich 1 diskutieren.

Da brauche ich Hinblick auf den Ansatz.
Wie ich da drangehen muss.

Immer bitte visuell erklären

ledum aktiv_icon

12:16 Uhr, 27.10.2015

Hallo
dann schreib doch die Falle als

x (t), p (t)

hin und geh vor, wie ich gesagt habe . Du sagst doch du hast meinen post verstanden?
Gruss ledum

Kokowei aktiv_icon

00:00 Uhr, 28.10.2015

Ne mom. Ich war vorschnell.

Nochmal zum 1.Teil bitte.

Ich habe jetzt

k

und

m

begrenzt. m=1kg; und

k = m (w^{2})

Durch

m

habe ich

k = (π^{2}) \cdot

\cdot (s^{- 2})

Dadurch kann ich mw bestimmen auf : mw

= π

s^{- 1}

A und

B

kann ich ja nichtbegrenzen. Weil ich die Differenzialgleichung nicht kenne?

Und wenn ich dann sowas plotten will : (π^2)*0.5(( (-Asin(π*t)+Bcos(π*t)))^2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%CF%80^2%29*0.5%28%28+%28-Asin%28%CF%80*t%29%2BBcos%28%CF%80*t%29%29%29^2%29

Kommt das dabei raus

. .

.

A und

B

sind ja nur in der nächsten Aufgabe bestimmt.

Also meine Frage: Wie plotte ich das bitte besser oder einer zum mir dann zeigen.
Wie ich A und

B

selber bestimmen soll

@Ledium schrieb ja: >>lass die mal für irgendein A und

B

die Kurve plotten, dann siehst du dass es wieder eine sin bzw.

cos

funktion ist nur der nullpunkt verschoben.

〉

Inder Aufgabe steht nicht, dass ich A und

B

einfach setzen darf, kann ich die denn durch das setzen von

m

und

k

(durch

k

kann man

ω

setzen) ausrechnen?

So ich hab das mal einfach so gemacht, dass A und

B

gesetzt habe.

A = 3 m

und

B = 66 m

Dann geplottet habe, und das schicke ich im Anhang.

So aber ich weiß nicht, ob das reicht beim vorstellen der Übung.

Kann man das auch ausgerechnet kriegen, sodass ich das selber skizzieren kann.
Natürlich will ich unbedingt vermeiden ins Komplexe zu gehen.
Vielleicht mit Additionstheoremen?

So dann zur Aufgabe mit der Phasenraumtrajektorie.

@Ledum ; du hast mir nicht erklärt was ein phasenraum ist, oder wenn du es hast,dann
habe ich das wirklich nicht verstanden :-D)

So gegoogelt ergab:

〉

Der Phasenraum beschreibt die Menge aller möglichen Zustände eines physikalischen Systems. Jeder Zustand des Systems entspricht einem Punkt im Phasenraum. Der Phasenraum beschreibt (im Gegensatz zum Zustandsraum) nicht die Zeit.

Ein Phasenraum kann in Unterräume zerlegt werden. Zum Beispiel bildet im Phasenraum eines Massenpunktes der Unterraum der möglichen Ortsvektoren den Ortsraum und der Unterraum der möglichen Impulsvektoren den Impulsraum.<<

Ja also wenn

B = 0

ist dann ist

v (0) = 0;

Dann hätt ich wieder den Fall in der Schule:

Is

A = 0

und

B = 1;

Den Fall : Schub in der Ruhelage, schon klar

Und Bei

A = 1 = B

hätte ich ne ausgelenkte Schaukel, die dabei noch

n

Schub kriegt ist auch klar.

Jetzt hab ich ein Phasenportrait mit Trajektorie gefunden bei wiki :

Da waren auf der waagerechten Achse die Amplituden angegeben, und auf der senkrechten
die Ableitung (Geschwindigkeit).

Also muss ich dann für die 3Fälle mit

m = w = 1

einfach dementsprechend:

p (t)

und

x (t)

auf der snekrechten Achse
und die Amplituden A und

B

auf den waagerechten

Und das einfach plotten?

Und wenn mw ungleich 1 is, was daraus folgen soll weiß ich aber echt nicht.

Könnt ich nur raten resonanz etc. aber wissen tu ich es nicht

ledum aktiv_icon

01:30 Uhr, 28.10.2015

Hallo
jetzt versteh ich gar nichts mehr! wo kommen plötzlich

x^{2}

her du willst Richtung

x (x (t)

auftragen, Richtung

y v (t 9

bzw

p (t)

kannst du endlich mal die 2 hinschreiben?
mein Beispiel war

x (t) = 1 \cdot cos (ω \cdot t) v (t) = - 1 \cdot ω \cdot sin ω \cdot t)

mit

ω = 1

dann

x (t) = cos (t), v (t) = - sin (t)

das ergibt einen Kreis im Phasenraum
es ist uninteressant

x (t)

oder

x^{2} (t)

aufzutragen, ich verstehe nicht , was du hier willst.
Ich hatte gesagt, schreib für die einzelnen gegebenen

A, B

mal

x (t)

und

v (t) = p (t)

falls

m = 1

(nicht die Dimension, aber die Funktionsgleichung!
Solange du das nicht tust, und dann in der

x - v

Ebene ein paar Punkte einzeichnen inden du etwa

t = 0, \frac{π}{6},

·pi\2,

\frac{π}{3}, π

usw bis

t = 2 π

einmalst
das zum Phasenraum.
davor E_pot

= k \cdot \frac{x^{2}}{2} =

kA/2*sin^2(2\pi)/T*t)
natürlich nur über eine Periode) , danach wiederholt sich das!
dann E_pot entsprechend, zusammen müssen sie konstant sein.
Wenn du statt x=Asin(2\pi)/T*t) lieber x(t)=Asin +Bcos nimmst verschiebt sich nur der 0 Punkt der Kurve,
Hast du dich denn überzeugt dass Asin(t)+B

cos (t)

Wind verschobene sin Kurve mit Amplitude

C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}

in welcher sich wiederholenden Zeitperiode du die Energien malst ist unwichtig, natürlich muss es für beide dieselbe sein.
von deinem tollen Alpha ding ist also nur der erste Teil wichtig, da der

cos

in deiner Formel sehr gross ist ist das beihnahe

{cos}^{2} (π \cdot t)

Also neu und beide Energien in eine Zeichnung, damit man sieht, dass ihre Summe konstant ist.

Gruß ledum

ledum aktiv_icon

01:30 Uhr, 28.10.2015

Hallo
jetzt versteh ich gar nichts mehr! wo kommen plötzlich

x^{2}

her du willst Richtung

x (x (t)

auftragen, Richtung

y v (t 9

bzw

p (t)

kannst du endlich mal die 2 hinschreiben?
mein Beispiel war

x (t) = 1 \cdot cos (ω \cdot t) v (t) = - 1 \cdot ω \cdot sin ω \cdot t)

mit

ω = 1

dann

x (t) = cos (t), v (t) = - sin (t)

das ergibt einen Kreis im Phasenraum
es ist uninteressant

x (t)

oder

x^{2} (t)

aufzutragen, ich verstehe nicht , was du hier willst.
Ich hatte gesagt, schreib für die einzelnen gegebenen

A, B

mal

x (t)

und

v (t) = p (t)

falls

m = 1

(nicht die Dimension, aber die Funktionsgleichung!
Solange du das nicht tust, und dann in der

x - v

Ebene ein paar Punkte einzeichnen inden du etwa

t = 0, \frac{π}{6},

·pi\2,

\frac{π}{3}, π

usw bis

t = 2 π

einmalst
das zum Phasenraum.
davor E_pot

= k \cdot \frac{x^{2}}{2} =

cos (t)

Wind verschobene sin Kurve mit Amplitude

C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}

in welcher sich wiederholenden Zeitperiode du die Energien malst ist unwichtig, natürlich muss es für beide dieselbe sein.
von deinem tollen Alpha ding ist also nur der erste Teil wichtig, da der

cos

in deiner Formel sehr gross ist ist das beihnahe

{cos}^{2} (π \cdot t)

Also neu und beide Energien in eine Zeichnung, damit man sieht, dass ihre Summe konstant ist.

Gruß ledum

Kokowei aktiv_icon

02:02 Uhr, 28.10.2015

So ich poste dieAufgabenstellung nochmal im Anhang.

@ledum : >>etzt versteh ich gar nichts mehr! wo kommen plötzlich

x 2

her du willst Richtung

x (x (t)

auftragen,

〉

ich verstehe nicht, wo ich ein

x^{2}

erwähnt haben soll? Meinst du viell

π^{2}

?

lies dir nochmal die Aufgabe aus dem Anhang durch. Viell. klärt sich dann auf, ob wir einanderander vorbeireden.

So in der zwischenzeit editiere ich hier:

Ich sprach ja von zwei verschiedenen Teilaufgaben.

In der ersten soll ich den Verlauf der kin. und pot. Energie skizzieren als Funktion von

x

.

Und für die kinetische Energie ist das nunmal der Term:
(π^2)*0.5(( (-3sin(π*t)+66cos(π*t)))^2)

Wenn ich wie gerade beschrieben

m

und

k

selber festlege.

Und das Bild im Anhang von gerade ist:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%CF%80%5E2%29*0.5%28%28+%28-3sin%28%CF%80*t%29%2B66cos%28%CF%80*t%29%29%29%5E2%29

Und das sollte der Energieverlauf für E_kin sein, dasselbe müsste ich noch mit E_pot machen
und wäre ich mit dem Teil der Aufgabe fertig.

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Danach kommt das mit der Phasentrajektorie

ledum aktiv_icon

16:32 Uhr, 28.10.2015

Hallo
du bzw wolfram hast die Energie in Abh. von

t

nicht in Abh- von

x

aufgetragen!!
vielleicht trägst du erst mal E_(pot(x) auf, das ist wirklich leicht und dann benutze e_8ges=konst um E:

{

kin) aufzumalen (ohne Wolfram)
mach dir klar, dass bei einer Fettreiche. etwa in der Mitte(Ruhelage) die kon Energie maximal ist, an den Umkehrpunkten 0. die Aufgabe ist wirklich leicht.
Wie du gerade auf deine 3 und

66

bei sin und

cos

kommst bleibt mir schleierhaft! warum deine Konstanten nicht so wählen, dass du nur

A \cdot cos

oder

A \cdot sin

hast, hat aber mit dem Auftragen gegen

x

nichts zu tun.
zum 2.ten Teil hab ich hoffentlich genug gesagt.
Gruss ledum

Kokowei aktiv_icon

22:33 Uhr, 30.10.2015

So ich merke ich hab was die skizze angeht nichts verstanden.

ich werde hochladen, was ich gemacht habe. (Im Anhang)

Für

A = B = 1

passiert folgendes:

Dann kommt bei mir leider raus, wenn ich E_pot und E_kin einzeln auftrage in Abhängigkeit von

x,

dass ich zweimal dieselbe Kurve rauskriege, was keinen Sinn macht.

Was ich noch raufand ist, dass für

A = B = 1 x

nur von - wurzel(2) bis

+

wurzel(29 definiert ist.

Ich hab das so verstanden, dass

\frac{p^{2}}{2} m

die kin. Energie ist
und der Rest von

H

ist die kinetische Energie

Aber wenn ich den Verlauf der kin. Energie als Funktion von

x

und nicht von

p

zeichne, wie soll da was anderes rauskommen.

Ich hoffe, dass ich keinen Bock geschlagen habe und das an dem Fall

A = B = 1

liegt.

Edit: Ich merke gerade, ich habe die Energien nicht in Abhängigkeit von

x

aufgetragen, sondern in Abhängigkeit von

C

(wenn man die gleichfrequenten Schwingungen zu einer Schwingung zusammenfasst)

EDIT:
Ich glaub jetzt habe ich es, Epot habe ich richtig gezeichnet. Aber für Ekin müsste ich für entsprechende

x

Werte die zwei

t

Werte ermitteln, und für die die E_pot Werte
Und dann trage ich natürlich E_pot in Abhängigkeit von

x

ab anstatt von

t

und dann hätte ich es oder?

Kokowei aktiv_icon

20:12 Uhr, 31.10.2015

So, die

b)

habe ich jetzt. Es sind einfach zwei Parabeln. Für

A = B = 1

ist

E_pot eine nach oben geöffnete, die im Achsenkreuz ihren Nullpunkt hat
Und E_kin ist natürlich für

x = 0

maximal.

Die 3 Bilder jetzt sauber im Anhang

Was eine Phasenruamtrajektorie ist, weiß ich aber immer noch nicht.

@Ledum Ich muss mir nochmal anschauen, was du dazu geschrieben hast.

Kokowei aktiv_icon

20:31 Uhr, 31.10.2015

So, ich hab jetzt ein Bild gefunden, da wurde aber der Impuls gegenüber von

x

aufgezeichnet.

Also ich soll

p

gegenüber

x

zeichnen und nicht

p

gegenüber

t

und

x

gegenüber

t

Richtig?

Und dann müsste ich so Ellipsen rauskriegen, wie auf dem Bild im Anhang?

Ach ich bekomme dann so Ellipsen raus, dessen Ursprung verschoben ist.

Jetzt versteh ich auch deine Gleichung so grob

EDIT: Meine jetzige Phasentrajektorie im Anhang.

Wenn

A = 1

und

B = 0

bzw. umgekehrt ist. und mw=1, dann habe ich Kreise

ich weiß aber nicht was passiert, wenn ich

A = B = 1

habe, wie ich die Phasentrajektorie
zeichne

und wenn mw ungleich 1 is hat man Ellipsen,

ich weiß aber nicht wie der 3. Fall geht

Ach der Unterschied, ist die Startposition des Zeigers ne?

ledum aktiv_icon

22:27 Uhr, 31.10.2015

x = A \cdot sin (ω \cdot t = + B \cdot cos (ω' t = C \cdot sin (ω \cdot t + φ_{0})

daraus

p = m' x'

Das Phasenprtrait bleibt ein Kreis nur der Radius ist

\sqrt{2}

für

A = B = 1

nur wenn man Zeitpunkte

t = 0

ist ein anderer, manchmal schreibt man das an das Phasenporträt, und wie rum

t

läuft.
Du solltest lernen wie man Acos+Bsin addiert und warum das richtig ist. für

m ω \neq 1

ist es wirklich eine Ellipse
galls

m ω > 1

ist die längere Achse in

p

Richtung sonst in

x

Richtung.
die 2 Energieparabeln sind endlich richtig.
Deine Rechnereien auf den Zetteln hab und werde ich nicht lesen, ich schreib dir mit Formeln und bin nicht bereit sowas zu lesen.
Gruß ledum

Kokowei aktiv_icon

21:35 Uhr, 01.11.2015

Danke. Du hast mir gut geholfen.

Ich habe jetzt alles so weit fertig und verstanden.

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