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Transformation Doppelintegralen in Polarkoordinate

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Doppelintegral, grenzen bestimmen, Integration, Polarkoordinaten

TP-FG aktiv_icon

10:32 Uhr, 09.07.2016

Hallo,

ich habe ein Problem bei der Grenzen Bestimmung von Doppelintegralen bei der Transformation in Polarkoordinaten.

Die Aufgabe lautet: "Berechnen Sie nach Transformation in Polarkoordinaten"

\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1 + x^{2}}} (1 - x^{2} - y^{2}) d y d x

Prinzipiell habe ich verstanden wie man dies angehen muss.
Jedoch ist die Lösung:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{1} (1 - r^{2}) \cdot r

d φ

Hier verstehe ich nicht wie man auf die Grenze

\int_{0}^{\frac{π}{2}}

kommt?

Ich vermute, dass es was mit

x = cos \cdot φ

und

y = sin \cdot φ

zu tun hat...
aber wenn ich

x = cos \cdot φ

in folgendes einsetze:

\sqrt{1 - x^{2}},

so komme ich immer auf

cos = 1 . .

.
Entweder verrechne ich mich an dieser Stelle oder mein Ansatz ist falsch.

Kann mir da jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Fourty2 aktiv_icon

14:56 Uhr, 09.07.2016

Hi,

ausgehend von der Lösung die du angegeben hast, gehe ich davon aus dass die obere Grenze der

y

-Integration

\sqrt{1 - x^{2}}

sein sollte, richtig?

Es ist generell immer (zumindest bei 2D Integralen) eine gute Idee sich das Integrationsgebiet anzugucken. Da

x^{2} + y^{2} = 1

den Einheitskreis beschreibt, beschreibt

y = \sqrt{1 - x^{2}}

die Hälfte des Einheitskreises die oberhalb der

x

-Achse liegt.
Da außderdem

0 < x < 1

gilt, ist das Integrationsgebiet das "rechte obere Viertel" des Einheitskreises. Daraus lässt sich dann unmittelbar die Grenze für die Winkelintegration bestimmen.

Viele Grüße,
42

TP-FG aktiv_icon

15:26 Uhr, 09.07.2016

Das ergibt Sinn. Vielen Dank

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