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Transformation eines Martingalproblems

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Tags: Erwartungswert, Finanzmathematik, Sonstig, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

 
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Isaaabellll

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10:58 Uhr, 19.07.2021

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Hallo,

sei (Xt)t≥0 eine Diffusion, d.h. eine Lösung einer stochastischen Differentialgleichung
dXt=b(x)dt+a(x)dBt
Aus der Theorie der stochastischen Prozesse wissen wir, dass
Mtf=f(Xt)-f(X0)-∫0tAf(Xs)ds
ein lokales Martingal ist, wobei A den Generator des Diffusionsprozesses X beschreibt mit f∈CK∞(ℝ).
Ich möchte nun einen Zeitwechsel vornehmen, d.h. es sei τt=inf{u>0∣∫0up(Xs)ds>t} für eine strikt positive messbare Funktion p:ℝ→(0,∞). Das Martingalproblem ändert sich dann zu
Mτtf=f(Xτt)-f(X0)-∫0t1p(Xτu)Af(Xτu)du
Meine Frage ist nun, wie ich dies beweisen kann, genauer gesagt, woher im Integrand p-1(Xτt) stammt.

Vielen Dank

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