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Transformation eines Martingalproblems

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Tags: Erwartungswert, Finanzmathematik, Sonstig, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

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10:58 Uhr, 19.07.2021

Hallo,

sei

(X_{t})_{t \geq 0}

eine Diffusion, d.h. eine Lösung einer stochastischen Differentialgleichung

d X_{t} = b (x) d t + a (x) d B_{t}

Aus der Theorie der stochastischen Prozesse wissen wir, dass

M_{t}^{f} = f (X_{t}) - f (X_{0}) - \int_{0}^{t} A f (X_{s}) d s

ein lokales Martingal ist, wobei

A

den Generator des Diffusionsprozesses

X

beschreibt mit

f \in C_{K}^{\infty} (ℝ)

.
Ich möchte nun einen Zeitwechsel vornehmen, d.h. es sei

τ_{t} = inf {u > 0 ∣ \int_{0}^{u} p (X_{s}) d s > t}

für eine strikt positive messbare Funktion

p : ℝ \to (0, \infty)

. Das Martingalproblem ändert sich dann zu

M_{τ_{t}}^{f} = f (X_{τ_{t}}) - f (X_{0}) - \int_{0}^{t} \frac{1}{p (X_{τ_{u}})} A f (X_{τ_{u}}) d u

Meine Frage ist nun, wie ich dies beweisen kann, genauer gesagt, woher im Integrand

p^{- 1} (X_{τ_{t}})

stammt.

Vielen Dank

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"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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