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Transformationsmatrix zu Orthogonaler Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung, orthogonale Matrix, Transformationsmatrix

Pyther99 aktiv_icon

18:35 Uhr, 28.06.2020

Hallo, ich habe Schwierigkeiten bei Teil

(2)

der Aufgabe im Anhang. Mir ist klar, dass bei einer orthogonalen Matrix die Inverse gleich der Transponierten Matrix ist. Somit suche ich also eine Transformationsmatrix.

Mein Problem liegt bei den sinus und cosinus Einträgen in der Matrix, ich weiß nicht so ganz wie ich diese behandeln soll. Ich habe ein paar triviale Werte ausprobiert doch keine Ähnlichkeit zwischen den Matrizen gefunden. Außerdem hat die Matrix A zwei imaginäre Eigenwerte und in der Aufgabe wird von orthogonalen Matrizen mit Einträgen aus dem Körper der reellen Zahlen gesprochen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

18:44 Uhr, 28.06.2020

Natürlich hast du imaginäre EW, daher kommen Sin un Cos in der Matrix.
Durch ausprobieren wird es nicht gemacht, es gibt ein Standardverfahren dazu.
Hier gibt's Erklärung dazu (eher unten):
matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=31718&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

Pyther99 aktiv_icon

19:35 Uhr, 28.06.2020

Danke, für den Hinweis. Ich bezuiehe mich im folgenden auf www.speicherleck.de/iblech/stuff/tutor-la-ii-quast/orthogonale-normalform.pdf, dieses PDF wurde auch in dem vorgeschlagenen Thread erwähnt.

Meine EW für A sind:

1,1,2

und die EV sind:

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

für den EW 1 und

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

für den EW 2.

Ich komme nicht ganz mit dem Schritt

2 c)

zurecht, da

A \cdot v_{1} = v_{1}

ist und somit der Unterraum U:=span

{

Av,v} nicht zweidimensional ist.

DrBoogie aktiv_icon

19:40 Uhr, 28.06.2020

Wie kommst du plötzlich auf rein reelle Werte?
Du hattest doch andere EW. Und das war richig so. 1,1,2 sind falsch.

Pyther99 aktiv_icon

19:54 Uhr, 28.06.2020

Ich meinte die EW von

A^{S},

wie es in dem Dokument beschrieben wurde.

DrBoogie aktiv_icon

20:04 Uhr, 28.06.2020

Ach so.

Na, dort steht doch "Wenn v ein Eigenvektor zu einem anderen Eigenwert ist", nur in diesem Fall ist

{v, A v}

2-dimensional. Wenn du sagst, dass

A v_{1} = v_{1}

, dann hast du diese Situation nicht. Wenn

A v_{1} = v_{1}

, dann ist

v_{1}

schon ein Eigenvektor der Originalmatrix und man muss ihn nur normieren, mehr nicht.

Pyther99 aktiv_icon

20:10 Uhr, 28.06.2020

Danke, daran habe ich irgendwie nicht gedacht...Jetzt hat es geklappt, danke :-)

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