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Transformationssatz am Parallelogramm

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Mehrdimensionale Integralrechnung, Parallelogramm, Transformationssatz

ChristineBiene aktiv_icon

14:18 Uhr, 05.03.2014

Guten Tag,

Ich würde gerne

v . a

. wissen ob meine Ansätze bei der Anwendung Vom Trafosatz, bzw. beim mehrdim. Integrieren richtig sind:

"Integrieren Sie:

f (x, y) = 2 x - 3 y,

über dem Parallelogramm,das von den Vektoren

{(2,1)}^{t}

und

{(2,4)}^{t}

erzeugt wird, linker unterer Punkt soll dabei

(0,0)

sein."

ich habe hierzu zwei Ansätze:

Vorab: Die Eckpunkte des Parallelogramms sollten

(0,0), (2,1), (2,4), (0,3)

sein

1)Transformationssatz:

Ich versuche jetzt eine Abbildung

φ : ℝ^{2} \to ℝ^{2}

zu finden, sodass das entstehende Parallelogramm ein Rechteck (muss nicht unbedingt das Einheitsquadrat sein oder?) ergibt, durch das "leichtere" Integrationsgrenzen formuliert werden können:

φ (x, y) = (\begin{matrix} φ 1 (x, y) \\ φ 2 (x, y) \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y - \frac{1}{2} \cdot x \end{matrix})

,dabei sind

φ 1

:="xneu" und

φ 2

:="yneu" die neuen

x

und

y

Koordinaten.

\to

Es ergibt sich durch anwenden von

φ : φ (0,0) = (0,0), φ (0,3) = (0,3), φ (2,1) = (2,0), φ (2,4) = (2,3)

ein Rechteck

\to det (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - \frac{1}{2} & 1 \end{matrix}) = 1

ist die Funktionaldeterminante von

φ

nach Trafosatz

\to \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} 3 x - 3 (y - \frac{1}{2} x) d y d x = \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} 2 x - 3 y + \frac{3}{2} x d y d x = \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} \frac{7}{2} x - 3 y d y d x = \int_{0}^{2} \frac{21}{2} x - \frac{27}{2} d x = [\frac{21}{4} x^{2} - \frac{27}{2} x]

"von 0 bis 2"

= - 6

2)"Welche-Koordinate-geht-von-wo-bis-wo-Methode":

wird

x

von 0 bis 2 integriert, dann ist

y

unten durch

f (x) = \frac{1}{2} x

und oben durch

f 2 (x) = \frac{1}{2} x + 3

beschränkt und zu berechnen ist:

\int_{0}^{2} \int_{\frac{1}{2} x}^{\frac{1}{x} + 3} 3 x - 3 y d y d x

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalte
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

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