Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Transitivität bei zweielementiger Menge

Transitivität bei zweielementiger Menge

Universität / Fachhochschule

Tags: Mengenlehre, Relation., Transitivität

FarrahFowler aktiv_icon

22:00 Uhr, 05.05.2014

Hallo zusammen,

ich verstehe noch nicht so ganz wie sich die Transitivität bei 2-elementigen Mengen verhält.

Ich hab gegeben die Menge

M := {1,2}

habe alle

16

Relationen von

M \times M

mal aufgeschrieben.

z . B

. habe ich die Relationen

R_{1} = {(1,1), (2,1)}

R_{2} = {(1,1), (1,2), (2,2)}

diese sollen wohl beide transitiv sein. Warum ist das so? Die Definition der Transitivität lautet ja

x ~ y

und

y ~ z,

so ist

x ~ z

.

Ich sehe das aber in den beiden Beispielrelationen nicht. Kann mir das jemand erklären??

MfG.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

DrBoogie aktiv_icon

22:12 Uhr, 05.05.2014

Du musst einfach alle möglichen Tripel

(x, y, z)

wählen und prüfen, dass
wenn

x \sim y

und

y \sim z

, dann auch

x \sim z

.
Bei nur zwei Elementen hast Du ziemlich wenig Tripel, konkret diese hier:

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)

.
Im Falle von

R_{1}

erfüllen

x \sim y

nur die Tripel

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2)

,
davon

y \sim z

nur die Tripel

(1, 1, 1), (2, 1, 1)

.
Und für diese beide gilt auch

x \ t i l d e z

FarrahFowler aktiv_icon

22:21 Uhr, 05.05.2014

Hmm, wie genau kommt man bei

R_{1}

auf die vier Tripel

(1,1,1), (1,1,2), (2,1,1), (2,1,2)

?

Ist mir noch nicht so klar, wo man daran

x ~ y

sehen kann.

DrBoogie aktiv_icon

22:25 Uhr, 05.05.2014

Das sind alle Tripel

(x, y, z)

.
Also ist im Tripel

(2, 1, 2)

x = 2, y = 1, z = 2

.
Das Weitere sollte klar sein.

FarrahFowler aktiv_icon

22:37 Uhr, 05.05.2014

Wenn ich das richtig verstanden habe, dann würde ich schreiben: im Falle von

R_{2}

gilt

x ~ y

für folgende Tripel:

(1,1,1), (1,1,2), (1,2,2), (1,2,1), (2,2,1), (2,2,2)

davon

y ~ z

für diese:

(1,1,1), (1,2,2), (2,2,2)

.

Stimmt das so?

DrBoogie aktiv_icon

23:03 Uhr, 05.05.2014

Auch für

(1, 1, 2)

gilt

y \sim z

FarrahFowler aktiv_icon

23:10 Uhr, 05.05.2014

Okay also um es genauer zu sagen, steht ja bei dem Tripel

(1,1,2) x = 1, y = 1

und

z = 2

. Warum gilt dort denn auch

y ~ z,

wenn

1 \neq 2

.
Habe ich irgendwo einen Denkfehler drin?

DrBoogie aktiv_icon

23:15 Uhr, 05.05.2014

"Habe ich irgendwo einen Denkfehler drin?"

Sieht so aus.
Relation

R 2

besteht aus drei Paaren.

y \sim z

genau dann, wenn

(y, z)

eins von diesen drei Paaren ist. Also unter anderem gilt

1 \sim 2

. Dabei ist natürlich

1 \neq 2

, aber es geht doch nicht um Gleichheiten.
Im Tripel

(x, y, z) = (1, 1, 2)

haben

y = 1, z = 2

und weil

1 \sim 2

, gilt

y \sim z

.

Ich wiederhole: Relation ist eine Menge von "gekennzeichneten" Paaren, das ist etwas, was Du für diese Aufgabe verstehen musst.

FarrahFowler aktiv_icon

23:31 Uhr, 05.05.2014

Ahh alles klar, jetzt verstehe ich!

Dann noch mal kurz eine Frage:

Ich habe die Relation

R_{3} := {(1,2), (2,1)}

x ~ y

gilt für folgende Tripel:

(1,2,2), (1,2,1), (2,1,1), (2,1,2)

y ~ z

für diese:

(2,1,2), (1,2,1)

x ~ z

gilt allerdings für keine dieser Tripel, also ist diese Relation nicht transitiv?

DrBoogie aktiv_icon

23:58 Uhr, 05.05.2014

Nicht transitiv, was aber in diesem Fall auch schneller zu sehen ist,
denn

1 \sim 2, 2 \sim 1

, aber

1

ist zu

1

nicht äquivalent.

FarrahFowler aktiv_icon

00:02 Uhr, 06.05.2014

Alles klar, vielen Dank!

1162873

1162817

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?