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Transitivität beweisen

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Relationen

Tags: Menge, Relation., Transitivität

neris aktiv_icon

18:25 Uhr, 09.11.2022

Guten Abend,
Die Aufgabenstellung lautet:
Seien

x, y ε ℕ, x, y \neq 0

. Es gelte

x ~ y

genau dann, wenn

x \cdot y

eine Quadratzahl ist

(d . h

x \cdot y = m^{2}

für

m ε ℤ)

.

Nun möchte ich beweisen, dass die Transitivität für die natürlichen Zahlen gilt.
Mein Ansatz war bisher

x \cdot y = m^{2}

y \cdot z = n^{2}

Hier könnte ich jetzt die Formeln umstellen und ineinander einsetzen oder die Formeln miteinander multiplizieren. Nur leider weiß ich dann noch nicht wie genau dadurch ein Beweis entstehen soll, dass auch bei

x \cdot z

eine Quadratzahl entsteht.
Ebenfalls soll die Aufgabe wohl auch mittels Primfaktorzerlegung lösbar sein. Allerdings weiß ich nur, dass ich so ein Produkt aus Primzahlen erhalte was die ursprüngliche Zahl ergibt. Was es mir hier genau bringt kann ich auch nicht wirklich erkennen.
Da ich noch Ersti bin wäre es super, wenn alles Schritt für Schritt erklärt werden würde.
Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sukomaki aktiv_icon

22:00 Uhr, 09.11.2022

Der Tipp mit der Primfaktorzerlegung ist entscheidend. Nachdem ich eine Stunde lang falsche Wege beschritten habe kam ich auf folgenden einfachen Beweis :

x = \prod_{i = 1}^{\infty} p_{i}^{r^{i}}

y = \prod_{i = 1}^{\infty} p_{i}^{s^{i}}

z = \prod_{i = 1}^{\infty} p_{i}^{t_{i}}

Dabei sind

p_{i}

die Primzahlen und

r_{i}

s_{i}

bzw.

t_{i}

die zugehörigen Vielfachheiten.

Die Produkte berechnen sich wie folgt :

x \cdot y = \prod_{i = 1}^{\infty} p_{i}^{r_{i} + s_{i}} = m^{2} \Rightarrow \forall i \in ℕ : 2 ∣ (r_{i} + s_{i})

y \cdot z = \prod_{i = 1}^{\infty} p_{i}^{s_{i} + t_{i}} = n^{2} \Rightarrow \forall i \in ℕ : 2 ∣ (s_{i} + t_{i})

und

x \cdot z = \prod_{i = 1}^{\infty} p_{i}^{r_{i} + t_{i}}

Es gilt :

\forall i \in ℕ : 2 ∣ (r_{i} + s_{i}) \land 2 ∣ (s_{i} + t_{i})

\Rightarrow 2 ∣ (r_{i} + 2 \cdot s_{i} + t_{i}) \Rightarrow 2 ∣ (r_{i} + t_{i})

Daraus folgt nun noch

x \cdot z = l^{2}

Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen.

Gruß
Sukomaki

neris aktiv_icon

20:58 Uhr, 10.11.2022

Vielen Dank für deine Antwort.
Ich versuche es nochmal in Sprache zu formulieren, ob ich es auch richtig verstanden habe.

x \cdot y

lässt sich durch ein gewisses Produkt aus Primzahlen bzw. ein vielfaches dieser Primzahlen ausdrücken.
Das gleiche gilt für

y \cdot z

.
Leider verstehe ich noch nicht die Aussage über die Teilbarkeit.
Die Exponenten der Primzahlen addiert sollen gerade sein?
Außerdem verstehe ich die Verbindung dieser Aussage dazu, dass

x \cdot z = l^{2}

gilt nicht.
Es wäre schön dazu nochmal eine ausführliche Erklärung zu bekommen.

Edit:
Okay ich habe ergoogled, dass bei Quadratzahlen die Primzahlzerlegung immer Primzahlen in einer geraden Anzahl vorkommen. Dann bedeutet die letzte Folgerung, dass wenn die Primfaktoren von

x \cdot y

und

y \cdot z

gerade sind auch die von

x \cdot z

gerade sind und somit

x \cdot z = l^{2}

also eine Quadratzahl ist?

HAL9000

21:45 Uhr, 10.11.2022

Warum nicht einfach so: Aus

x y = m^{2}

und

y z = n^{2}

folgt

x y^{2} z = {(m n)}^{2}

und damit

y^{2} ∣ {(m n)}^{2}

. Aus letzterem folgt aber sofort

y ∣ (m n)

, damit existiert ein

k

mit

m n = k y

, es folgt

x y^{2} z = k^{2} y^{2}

und damit wegen

y \neq 0

auch

x z = k^{2}

Sukomaki aktiv_icon

22:36 Uhr, 10.11.2022

Viele Wege führen nach Rom.

HAL9000 hat ja seinen Beweis kurz und knackig aufgeschrieben.

Allerdings arbeitet mein Beweis mit Primfaktorzerlegung wie empfohlen.

> dass wenn die Primfaktoren von

x \cdot y

und

y \cdot z

gerade sind

Nicht die Primfaktoren sind gerade sondern deren Vielfachheit.

Aber den Rest hast Du gut verstanden.

> und somit

x \cdot z = l^{2}

also eine Quadratzahl ist?

Genau. Das ist äquivalent. D.h. es gehen beide Richtungen :

1)

p

ist eine Quadratzahl

\Rightarrow

Es kommen nur gerade Vielfachheiten in

p

vor

2) Es kommen nur gerade Vielfachheiten in

p

vor

\Rightarrow

p

ist eine Quadratzahl

HAL9000

23:05 Uhr, 10.11.2022

> Allerdings arbeitet mein Beweis mit Primfaktorzerlegung wie empfohlen.

Naja, was heißt "empfohlen"? Ich lese oben "EBENFALLS soll die Aufgabe wohl auch mittels Primfaktorzerlegung lösbar sein." Da sehe ich als Option an, nicht als Empfehlung.

neris aktiv_icon

00:10 Uhr, 11.11.2022

Vielen Dank für die beiden Antworten.
Ich kann beide Lösungswege nun nachvollziehen

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