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Trapezzerlegung
Universität / Fachhochschule
Tags: diagonal, parallel, Trapez, Zerlegen
 
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Wie kann man ein gleichschenkeliges Trapez (bekannt sind die Seitenlängen und die Höhe) so in 6 aufeinanderliegende Trapeze zerlegen, daß die Diagonalen jeweils parallel zueinander sind? konstruktiv und rechnerisch? Die Trapeze und damit der Abstand der Diagonalen müßten nach oben also kleiner werden. Viele Grüße und Danke Tuefftler Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform) Raute / Drachenviereck / Trapez |
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Hallo tuefftler, das erreichst du wenn du die Schenkel (AD)und (BC) des Trapezes in 6 gleichlange Stücke zerlegst und dann Parallelen zu (AB) ziehst. Der rechnerische Weg ist wahrscheinlich nicht so schwer zu finden. Alles Gute Atlantik |
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Hallo Atlantik,
"das erreichst du wenn du die Schenkel (AD)und (BC) des Trapezes in 6 gleichlange Stücke zerlegst und dann Parallelen zu (AB) ziehst." Dadurch erreichst Du (Beweis durch Strahlensatz), dass die Höhen der einzelnen Trapeze alle gleich gross sind. Da bei gleicher Höhe die Grund- und Decklinie immer kleiner werden, ist eine Parallelität der Diagonalen allein in einem Spezialfall von Trapezen, den Rechtecken, gegeben. Bei allen anderen Trapezen ist es schon so, wie tuefftler geschrieben hat: "Die Trapeze und damit der Abstand der Diagonalen müßten nach oben also kleiner werden." @tuefftler, Mache Dir einfach mal eine Skizze, . zeichne eine Grundlinie und die beiden Schenkel. Dann lege auf einem Schenkel einen Punkt fest, konstruiere die Parallele zur Grundlinie durch diesen Punkt und zeichne in das entstandene Trapez eine Diagonale ein. Fahre oberhalb des entstandenen Trapezes fort und Du hast jetzt schon zwei der "gestapelten" Trapeze. Wenn Du jetzt mal die Dreiecke in beiden Trapezen anschaust, die unterhalb der Diagonalen liegen, so sieht man, dass die beiden Winkel an der Grundlinie gleich groß sind. Wegen dem Innenwinkelsatz für Dreiecke ist auch der dritte Winkel gleich und die beiden Dreiecke sind ähnlich. Das selbe gilt für die Dreiecke oberhalb der Diagonalen. Was bleibt für die Trapeze anderes übrig, als selbst auch ähnlich zu sein. Jetzt wollen wir nicht zeichnen, sondern uns den Rest nur vorstellen. Für ein drittes Trapez oberhalb würde genauso gelten, dass es ähnlich zum zweiten und demzufolge auch zum ersten Trapez ist. Aber auch mit dem selben Ähnlichkeitsfaktor? Dazu stellt man sich vor, die Schenkel bis zum Schnittpunkt zu verlängern. Dann macht man eine zentrische Streckung des dritten und des zweiten Trapezes, so dass die Grundlinie des gestreckten zweiten Trapezes auf der Grundlinie des ersten Trapezes zu liegen kommt. Da diese Grundlinie des ersten Trapezes ebenfalls auf den Schenkeln endet und durch die zentrische Streckung die anliegenden Winkel nicht verändert werden, ist durch die zentrische Streckung das zweite Trapez auf das erste Trapez abgebildet worden. Damit ist die Grundlinie des dritten Trapezes, die ja die Decklinie des zweiten Trapezes ist, auf die Grundlinie des zweiten Trapezes abgebildet worden. Auch hier zieht das Argument mit den Winkeln und das dritte Trapez wird auf das zweite Trapez gestreckt. Da bei der Streckung der beiden Trapeze das Verhältnis zwischen den Längen der Seiten und Höhen nicht verändert wird, ist das Verhältnis zwischen dem zweiten und dem dritten Trapez das selbe wie zwischen den beiden ersten Trapezen. Wir haben hier, was die Seitenlängen und die Höhen angeht eine geometrische Folge! Denkt man sich die 6 Trapeze übereinander, dann ist die Decklinie des sechsten Trapeze gleich der Seite des Ausgangstrapezes und wenn man sich die Trapezfolge weiter vorstellt dann ist diese Strecke auch die Grundlinie des siebten Trapezes. Da die Grundlinien vom unteren Trapez aus einer geometrischen Folge unterliegen, ist die Grundlinie des siebten Trapezes (und damit die Decklinie des Gesamttrapezes): Wegen der Ähnlichkeit der Trapeze unterliegen auch die Höhen einer geometrischen Folge mit dem selben Faktor . Das untere Trapez habe die Höhe dann hat das sechste Trapez die Höhe und die Höhen aller sechs Trapeze, und damit des Gesamttrapezes, ist: Man kann aus a und ermitteln und aus und . Soweit zunächst zur rechnerischen Lösung. |
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@Bummerang, herzlichen Dank! Ja das sehe ich jetzt ein. Ich hatte mir das gleichschenklige Trapez mit GeoGebra aufgezeichnet und folgerte aus der Ansicht der Diagonalen, dass diese parallel seien.Da hätte ich mir erst die "Parallelen" als Funktion herrichten müssen, um zu merken, dass die Steigung für das Auge unmerkbar größer wird, aber das ja nun nicht auf dem rechnerischen Weg. Alles Gute Atlantik |
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Danke Bummerang und Atlantik |
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