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Trassierung

Schüler Gymnasium,

Tags: Trassierung

Katharina-

14:08 Uhr, 13.10.2012

Hallo,
Ich übe gerade siese Aufgabe: Die beiden Graphen zu

y = 0

(für

x \leq 0)

und zu

y = 6 x - 6

(für

x \geq 2)

stellen geradlinige Straßenstücke dar. Diese sollen durch einen Übergangsbogen glatt und krümmungsruckfrei miteinander verbunden werden.

D . h . :

An den Übergangsstellen sollen die aneinander angrenzenden Funktionen nicht nur im Funktionswert sondern auch in der 1.Ableitung ("glatt") und in der 2.Ableitung ("krümmungsruckfrei") übereinstimmen.
Bestimmen Sie für den Übergangsbogen eine mögliche Funktionsgleichung.
Ich habe die Funktionen (s.Anhang) mal gezeichnet. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie das aussehen soll, wenn die Straßenstücke miteinander verbunden werden sollen.
Kann mir bitte jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Matlog aktiv_icon

15:12 Uhr, 13.10.2012

Du hast also für

x \leq 0

die Gerade

g (x) = 0

(die "negative x-Achse") und für

x \geq 2

die Gerade

h (x) = 6 x - 6

(diese solltest Du in der Zeichnung auch nur für

x \geq 2

einzeichnen).

Diese beiden Stücke sollen für

0 < x < 2

so durch eine Funktion

f (x)

verbunden werden, dass gilt:

f (0) = g (0)

f´(0)=g´(0)
f´´(0)=g´´(0)

f (2) = h (2)

f´(2)=h´(2)
f´´(2)=h´´(2)

Mit einem Ansatz

f (x) = a \cdot x^{5} + b \cdot x^{4} + c \cdot x^{3} + d \cdot x^{2} + e \cdot x + f

und den berechneten Werten

g (0),

g´(0), g´´(0),

h (2),

h´(2), h´´(2) ergibt sich ein LGS mit 6 Gleichungen und 6 Variablen.
Aber keine Angst, 3 Variable fallen sofort weg, so dass nur noch ein System mit 3 Gleichungen und 3 Variablen zu lösen ist.

Zur Kontrolle das Ergebnis:

f (x) = - \frac{3}{8} \cdot x^{4} + \frac{3}{2} \cdot x^{3}

Katharina-

18:52 Uhr, 13.10.2012

Danke für den Hinweis!
Ich weiß nicht, ob ich das jetzt richtig gemacht habe:
Wenn man die ersten 3 Bedingungen berechnet, kommt doch heraus, dass

f = 0, e = 0

und

d = 0

ist, oder?
Das heißt, dass diese Variablen bestimmt sind.
Hat man dann:

f (2) = 32 a + 16 b + 8 c = 32 a + 16 b + 8 c

f' (2) = 80 a + 32 b + 12 c = 80 a + 32 b + 12 c

f'' (2) = 160 a + 48 b + 12 c = 160 a + 48 b + 12 c

pleindespoir aktiv_icon

20:00 Uhr, 13.10.2012

Für die Anwendung des sog. kubischen Splines betrachte man die Punkte, an denen die Stücke enden und deren Steigungen:

gerade Strasse von links aus Minusunendlich endet im Punkt

(0 ∣ 0)

und hat dort die Steigung (bezogen auf das angenommene Koordinatensystem) von genau Null.

die gesuchte Splinefunktion nennen wir mal

s (x)

also können wir folgende Feststellungen treffen:

I:

s (0) = 0

und
II:

s ʹ (0) = 0

die Fortführung liegt im Punkt (2|6) und dort beträgt die Steigung 6, woraus folgt:

III:

s (2) = 6

und
IV:

s ʹ (2) = 6

wir haben also vier Gleichungen vorliegen - daraus kann man einen Kubische Polynomfunktion der Form

s (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

mühelos modellieren.

Katharina-

20:40 Uhr, 13.10.2012

Muss ich die Bedingungen nur noch in die kubische Fuktion einsetzen?
Also

z . B

. so:

s (0) = 0 a + 0 b + 0 c + d = 0

s' (0) = 0 a + 0 b + c = 0

s (2) = 8 a + 4 b + 2 c + d = 6

s' (2) = 12 a + 4 b + c = 6

Also um ehrlich zu sein, wäre ich jetzt nicht darauf gekommen, dass man mit dem Punkt

2 | 6

eine Bedingung aufstellen kann.
Wenn ich den anderen Ansatz mit der Funktion 5.Grades nehme, wie wäre das dann zu lösen?

pleindespoir aktiv_icon

20:48 Uhr, 13.10.2012

So wie oben beschrieben und von Dir offenbar auch richtig umgesetzt, funktioniert der kubische Spline.

Höhere Polynomgrade sind nicht sinnvoll unter den gegebenen Bedingungen.

Mehr Rechenaufwand und keine "bessere" Kurve.

pleindespoir aktiv_icon

20:52 Uhr, 13.10.2012

"Also um ehrlich zu sein, wäre ich jetzt nicht darauf gekommen, dass man mit dem Punkt 2|6 eine Bedingung aufstellen kann."

Das liegt daran, dass du schon in der Zeichnung die Fortführung der Strecke quer durchs Papier gemalt hast, anstatt sie dort beginnen zu lassen, von wo aus sie definiert ist. Namlich ab 2|6 und keinen Millimeter weiter links davon.
Zeichne das nochmal richtig und Du wirst sehen, dass 2|6 einem direkt ins Äuglein hüpft.

Katharina-

16:56 Uhr, 14.10.2012

Okay, stimmt, ist wirklich viel einfacher! Danke!

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19:51 Uhr, 14.10.2012

Sorry, ich konnte erst jetzt wieder verfolgen, wie die Lösung der Aufgabe weiter lief.

In Katharinas Aufgabenstellung kann ich nirgendwo die Erwähnung kubischer Splines finden.
Diese können die geforderte Krümmungsruckfreiheit (lustiges Wort!) nicht erfüllen.

Ob man das jetzt für sinnvoll hält oder nicht: Die gegebene Aufgabenstellung kann man nur mit dem Ansatz eines Polynoms 5. Grades lösen (was im Ergebnis nur 4. Grades ist).

Katharinas Ansatz dazu war übrigens vollkommen richtig, es fehlten nur die rechten Seiten der Gleichungen, also

f (2) = h (2) = 6,

f´(2)=h´(2)=6, f´´(2)=h´´(2)=0.

Katharina-

20:25 Uhr, 14.10.2012

Matlog, dazu habe ich nochmal eine Frage:
Also es muss ja dann

f (2) = 32 a + 16 b + 8 c = 32 a + 16 b + 8 c = 6

f' (2) = 80 a + 32 b + 12 c = 80 a + 32 b + 12 c = 6

f'' (2) = 160 a + 48 b + 12 c = 160 a + 48 b + 12 c = 0

sein, richtig?
Wie kann ich damit weiterrechnen? Kann ich das nicht alles auf eine Seite bringen?

Matlog aktiv_icon

20:32 Uhr, 14.10.2012

Die Gleichungen sind richtig! Ich verstehe aber nicht, weshalb die linken Seiten dort immer doppelt stehen?!

Die erste Gleichung lautet einfach:

32 a + 16 b + 8 c = 6

usw.

Das sind drei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten, also was ganz Normales.
Lösen kannst Du das mit Deinem bevorzugten Verfahren,

z . B

. Gauß-Verfahren.

pleindespoir aktiv_icon

20:44 Uhr, 14.10.2012

"Krümmungsruckfreiheit "

habe ich leider völlig übersehen - sorry for that.

Bei dieser Anforderung ist selbstverständlich ein höherer Polynomgrad erforderlich.

Insofern nehme ich alles zurück und behaupte das Gegenteil ...

Katharina-

08:42 Uhr, 15.10.2012

Achso! Ich hatte das hier falsch verstanden:

f (0) = g (0)

f' (0) =

g´(0)
f´´(0)=

g'' (0)

f (2) = h (2)

f´(2)= h´(2)

f'' (2) = h'' (2)

Ich dachte, dass man die Bedingungen gleichsetzen muss, deshalb hab ich das zweimal da hingeschrieben.
Aber jetzt hab ich die Funktion auch raus. Danke!

Matlog aktiv_icon

09:00 Uhr, 15.10.2012

Gleichsetzen ist vollkommen richtig.
Allerdings

f (2) = 32 a + 16 b + 8 c

und

h (2) = 6;

das ergibt gleichgesetzt die erste Gleichung.

Aber inzwischen scheint ja alles geklärt zu sein.

Katharina-

15:17 Uhr, 15.10.2012

Ja, danke nochmal :-)!

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