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Trassierung- Funktion erstellen

Schüler Gymnasium,

Tags: Trassierung

sarabe aktiv_icon

14:47 Uhr, 13.10.2012

Hallo :-),
ich übe gerade für eine Klausur und komme mit Trassierung nicht so gut zurecht.
Auf dieser Seite:
nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil4pdf/Trassierung.pdf
gibt es gleich auf der ersten Seite eine Übung.
Dazu lautet die Aufg.: Modellieren Sie mit einem knickfreien Übergang den Verlauf einer Umgehungsstraße, die durch

P (0 | 4)

verlaufen soll (Angaben in km). Ermitteln Sie den kürzesten Abstand zum
Ortsrand.
Wie geht man an so eine Aufgabe am besten ran?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Capricorn-01 aktiv_icon

18:37 Uhr, 13.10.2012

Zum ersten Teil der Aufgabe:

Ich versuche es mit einem Polynom

f (x) =

ax^4

+

[

bx^3

+]

cx^2

+ [d x +] e

.
Die Kurve geht durch die Punkte

(- 5; 0) (0; 4) (5; 0)

Dass es durch

(- 4; 0)

gehen muss, steht nicht. Wenn ich

(- 4; 0)

nehme, wie in der Zeichnung, wird das Dorf geschnitten. Wenn es mit 5 immer noch geschnitten wird, muss der Punkt noch mehr verschoben werden.

Das gegebene Wertepaar an der Stelle

x = 5

liefert die Gleichung:

a \cdot 625 + b \cdot 125 + c \cdot 25 + d \cdot 5 + e = 0

Das gegebene Wertepaar an der Stelle

x = 0

liefert die Gleichung:

e = 4

Das gegebene Wertepaar an der Stelle

x = - 5

liefert die Gleichung:

a \cdot 625 + b \cdot - 125 + c \cdot 25 + c \cdot - 5 + e = 0

Die Steigung bei

x = 5, x = 0

[

und

x = - 5]

muss 0 sein
Die gegebene Steigung an der Stelle

x = 0

liefert die Gleichung:

c = 0

Die gegebene Steigung an der Stelle

x = 5

liefert die Gleichung:

a \cdot 500 + b \cdot 75 + c \cdot 10 + d = 0

Wenn der Graph des Polynoms symmetrisch zur y-Achse oder eine Parallele dazu sein soll, gibt es keine Glieder mit ungeraden Exponenten.

Jetzt muss das Gleichungssystem noch gelöst werden.
Zur Kontrolle: Ich habe

f (x) = 0.0064 \cdot x^{4} - 0.32 \cdot x^{2} + 4

erhalten.

LG

sarabe aktiv_icon

21:06 Uhr, 13.10.2012

hm, also ich habe es mal mit

- 4

probiert.
Also habe ich
I)

f (0) = 4

II)

f' (0) = 0

III)

f (4) = 0

IV)

f (- 4) = 0

V) f' (- 4) = 0

\to f (x) = \frac{1}{64} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + 4

bei mir wird das Dorf gar nicht geschnitten.
Aber wie kann ich jetzt den kürzesten Absatnd zum Ortsrand herausfinden?

pleindespoir aktiv_icon

21:47 Uhr, 13.10.2012

Da das symmetrisch ist, kann man sich das Leben erleichtern, indem man nur mal die positive Seite betrachtet - wird übrigens von führenden Esoterikern empfohlen ...

A:(0|4)

B:(4|0)

Steigungen in beiden Punkten = 0

Gleichungssystem (knickfrei, nicht krümmungsruckfrei):

I:

4 = a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0^{1} + d

II:

0 = 3 a \cdot 0^{2} + 2 b \cdot 0 + c

III:

0 = a \cdot 4^{3} + b \cdot 4^{2} + c \cdot 4^{1} + d

VI:

0 = 3 a \cdot 4^{2} + 2 b \cdot 4 + c

Lösung:

I:

4 = d

II:

0 = c

III:

0 = a \cdot 4^{3} + b \cdot 4^{2} + 0 \cdot 4^{1} + 4

VI:

0 = 3 a \cdot 4^{2} + 2 b \cdot 4 + 0

---

III:

0 = a \cdot 64 + b \cdot 16 + 4

VI:

0 = 48 \cdot a + 8 \cdot b

---

VI:

- 96 \cdot a = 16 \cdot b

III:

0 = a \cdot 64 - 96 \cdot a + 4

III:

32 a = 4

III:

a = ⅛

---

VI:

- 96 \cdot ⅛ = 16 \cdot b

VI:

- 12 = 16 \cdot b

VI:

b = - ¾

Splinefunktion:

y = ⅛ x^{3} - ¾ x^{2} + 4

gilt natürlich nur für die RECHTE Seite!

Capricorn-01 aktiv_icon

21:57 Uhr, 13.10.2012

Der kürzeste Abstand könnte auf folgendem Weg ermittelt werden:
Stelle Dir den Dorfkreis so gross vor, dass er den Graph des Polynoms berührt. Auf der Normalen auf der Tangente durch den Berührungspunkt liegt dann der kürzeste Abstand. Im Berührungspunkt dieses vergrösserten Kreises (Radius

r_{2})

mit der Funktion

f (x)

sind die Steigungen gleich. Also gilt:

k' (x_{B}) = f' (x_{B})

Kreisgleichung

k

ist:

x^{2} + y^{2} = r_{2}^{2}

k (x) = y = \sqrt{r_{2}^{2} - x^{2}}

Das Problem ist, dass wir das

r

des vergrösserten Kreises nicht kennen und dass der Polynomgrad mindestens 6 wird, da wir bei der Ableitung eine Wurzel bekommen und auf der andern Seite ein Polynom 3. Grades haben.

Vielleicht könnte man das Ganze von

r

abhängig machen und nach

r

ableiten? Im Moment sehe ich die Lösung noch nicht.

pleindespoir aktiv_icon

22:02 Uhr, 13.10.2012

"Aber wie kann ich jetzt den kürzesten Absatnd zum Ortsrand herausfinden?"

An der Stelle, an der die Normale der Splinefunktion durch den Ursprung läuft, könnte der zugehörige Punkt dem Kreis um den Ursprung am nächsten sein ...

Achtung - es gibt mehrere Lösungen!

Capricorn-01 aktiv_icon

22:48 Uhr, 13.10.2012

Danke, pleindespoir.

Dann wäre

- \frac{1}{f' (x)} = \frac{y}{x}

(Steigung der Normalen = -1/(Steigung der Funktion)

\frac{f' (x) \cdot f (x)}{x} = - 1

Damit geht die Normale durch den Nullpunkt.
Mit dem Polynom-Ansatz von pleindespoir könnte es vom Polynomgrad her lösbar sein.

pleindespoir aktiv_icon

23:15 Uhr, 13.10.2012

ich würde die Normale mal so beschreiben:

N (x) = m \cdot x + b

wobei die Steigung der Normalen

m = - \frac{1}{y ʹ (x)}

und b=0 gesetzt wird, weil wir die Normale ja durch den Ursprung ziehen wollen.

Jetzt muss die Splinefunktion

y (x) = ⅛ x^{3} - ¾ x^{2} + 4

noch auf der Normalen liegen:

N (x) = y (x)

- \frac{1}{y ʹ (x)} \cdot x = ⅛ x^{3} - ¾ x^{2} + 4

brauchemer die Ableitung:

y ʹ (x) = ⅜ x^{2} - \frac{3}{2} x

- \frac{x}{⅜ x^{2} - \frac{3}{2} x} = ⅛ x^{3} - ¾ x^{2} + 4

- \frac{1}{⅜ x - \frac{3}{2}} = ⅛ x^{3} - ¾ x^{2} + 4

- \frac{1}{⅜ x - \frac{12}{8}} = ⅛ x^{3} - ¾ x^{2} + 4

- \frac{8}{3 x - 12} = ⅛ x^{3} - ¾ x^{2} + 4

- \frac{64}{3 x - 12} = x^{3} - 6 x^{2} + 32

- 64 = (x^{3} - 6 x^{2} + 32) \cdot (3 x - 12)

- 64 = (x^{3} - 6 x^{2} + 32) \cdot (3 x) - (x^{3} - 6 x^{2} + 32) \cdot (12)

pleindespoir aktiv_icon

23:24 Uhr, 13.10.2012

ich hab mal von weiteren Berechnungen Abstand genommen, weil ich mich nicht mehr konzentrieren kann und ich glaube ich hab mich verfummelt ...

... schaumermal morgen wieder weiter CU!

sarabe aktiv_icon

12:45 Uhr, 14.10.2012

Kein Problem! Ich denke sowieso, dass meine Lehrerin so etwas Kompliziertes wie mit dem Kreis nicht abfragen wird. Allerdings wäre es schon interssant zu wissen, wei so etwas funktioniert ;-)
Ich habe die Aufgabe ja nur wegen der Trassierung gemacht.
Ich lasse sie mal als "beantwortet" stehen, aber ihr könnt gerne noch etwas schreiben, wenn ihr wollt :-)

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