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Trennung der Variablen

Schüler

Tags: cos, sin, tan

stinlein aktiv_icon

16:15 Uhr, 13.03.2018

Die Aufgabe lautet:

y' \cdot cos (x) + y \cdot sin (x) = tan (x)

Bestimme die allgem. Lösungen der gegebenen DGL!
Ich hätte einmal so begonnen:

y' \cdot cos (x) = tan (x) - y \cdot sin (x)

y' = \frac{tan (x) - y \cdot sin (x)}{cos (x)}

\frac{d y}{y} = \frac{tan (x)}{cos (x)} - y \cdot \frac{sin (x)}{cos (x)} ... .

. DGl integrieren!

Frage: Stimmt das bis jetzt?
Danke für die Hilfestellung schon im Voraus! DANKE!
stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

16:45 Uhr, 13.03.2018

>

Frage: Stimmt das bis jetzt?

1)

Wo ist denn das

d x

hin verschwunden? Offenbar ist es zum

y

mutiert.

2)

Dein Thread heißt "Trennen der Variablen". ist du der Meinung, dass du die Variablen bereits getrennt hast? Ich sehe rechts unter all den

x

immer noch ein

y!

Also besser erst die zugehörige homogene DGL lösen und dann VdK

stinlein aktiv_icon

16:48 Uhr, 13.03.2018

Danke für den Hinweis. Ich glaube, ich habe da zu Beginn schon immer einen Denkfehler.
Es gelingt mir einfach nicht, die Variablen zu trennen.

y' \cdot cos (x) + y \cdot sin (x) = tan (x)

y' \cdot \frac{cos (x)}{sin (x)} + y = \frac{\frac{sin (x)}{cos (x)}}{sin (x)}

\frac{d y}{d x} \cdot {tan}^{- 1} + y = \frac{1}{cos (x)}

....GL mal

d x

\frac{d y}{d x}

*cotan(x)

+ y = \frac{1}{cos (x)}

dy*cotan(x)

+ y \cdot d x = \frac{1}{cos (x)}

Bin jetzt ganz durcheinander. Weiß nicht mehr aus noch ein!
Danke für DEINE HILFE, Roman-22!

lg stinlein

Roman-22

18:15 Uhr, 13.03.2018

>

Es gelingt mir einfach nicht, die Variablen zu trennen.
Das glaub ich dir gern.
Deshalb hatte ich ja auch geschrieben
"Also besser erst die zugehörige homogene DGL lösen und dann VdK"

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18:41 Uhr, 13.03.2018

y' \cdot \frac{cos (x)}{sin (x)} + y = 0

y' \cdot (\frac{cos (x)}{sin (x)}) = - y

\frac{d y}{d x} = - y \cdot (\frac{sin (x)}{cos (x)})

\frac{d y}{y} = - y \cdot ((\frac{sin (x)}{cos (x)}) d x ... ...

. jetzt die DG integrieren?
Etwa so? Wenn nicht, bitte hilf mir weiter. Als Supermathematiker weißt du ja schon beim Anblick der geg. GL, wo die Schwierigkeiten liegen. DANKE VIELMALS FÜR DEINE UNTERSTÜTZUNG.
lg stinlein

Roman-22

19:21 Uhr, 13.03.2018

>

Etwa so?
Naja. Solange rechts noch ein

y

herum schwirrt, kannst du ja nicht über

x

integrieren. Zum Glück ist dieses

y

rechts aber ohnedies falsch und gehört ersatzlos gestrichen.

\to \int \frac{- sin x}{cos x} d x =

?

Hier sieht man sofort die Lösung, denn im Zähler steht genau die Ableitung des Nenners!
Die zugehörige "Regel" ist

\int \frac{N' (x)}{N (x)} d x = ln (| N (x) |) + C

Wenn dir die Regel nichts sagt und du sie nicht verwenden möchtest, dann kannst du auch substituieren

\to u = cos x

und solltest auf

\int \frac{1}{u} d u

kommen.

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19:34 Uhr, 13.03.2018

Zuerst einmal ganz ganz lieben Dank für die Hilfe. Das mit dem

y

habe ich kapiert - wird ja eine 1 daraus. Versuche jetzt einmal deine tolle Rückmeldung zu verstehen. DANKE DIR VORERST TAUSENDMAL!
Diese Regel übernehme ich gerne.
Also

ln y = ln (cos (x) + c

lg stinlein

Roman-22

20:10 Uhr, 13.03.2018

>

Also

>

lny=ln(cos(x)+c
Ja, genauer

y_{h}

und

| cos x |

und besser

ln c

anstatt von

c

(für den nächsten Schritt

\to

Entlogarithmieren)

>

Damit wäre:

>

yh=-sin(x)cos(x)=-tan(x)
Nein! Wie kommst du denn von der obigen Zeile auf sowas??

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20:13 Uhr, 13.03.2018

Da habe ich mich verirrt! Konnte es eben noch ausbessern. Danke! Also:
lny = lncos(x)

+ c

ln (y) = ln (cos (x) + ln (c)

y = c \cdot cos (x)

y_{P} = c (x) \cdot cos (x)

y^{'}_P = c^{'} (x) cos (x) - sin (x) \cdot c (x)

c^{'} (x) cos (x) - sin (x) \cdot c (x) + c (x) \cdot cos (x) = tan (x)

Roman-22

21:14 Uhr, 13.03.2018

>

c'(x)cos(x)-sin(x)⋅c(x)+c(x)⋅cos(x)=tan(x)
Nein, die

c (x)

müssen an der Stelle immer wegfallen

Die Angabe lautet NICHT

y' + y = tan x

Also setze richtig in die Angabe ein!

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21:16 Uhr, 13.03.2018

Danke! Auch schon bei der Ableitung

y^{'} P

?
stinlein

Roman-22

21:17 Uhr, 13.03.2018

>

Auch schon bei der Ableitung

y' P

?
Natürlich nicht.
Deine Ableitung ist richtig

stinlein aktiv_icon

21:33 Uhr, 13.03.2018

Danke dir ganz herzlich, Roman-22. Wenigstens die Ableitung ist jetzt richtig. Ich schaffe es heute nicht mehr, habe morgen wieder den ganzen Tag Schule. Melde ich gerne morgen wieder bei dir. Vielleicht kann ich in einer Freistunde sogar etwas verbessern.
Nochmals ganz lieben Dank für heute und gute Nacht. Bist ein wahrer Schatz im Forum! Kompiment!
Schließe dann die Aufgabe erst morgen ab, vergesse

n i c h t!

lg stinlein

stinlein aktiv_icon

11:34 Uhr, 14.03.2018

Also:

c' (x) \cdot {cos}^{2} x -

c(x)sinx*cosx

+

c(x)sinx*cosx

= tan (x)

c' (x) = tan x \cdot \frac{1}{{cos}^{2}} x

c (x) = \int tan x \cdot \frac{1}{{cos}^{2}} x

c (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{cos}^{2}} x + c

y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{cos}^{2} x} \cdot cos x + c \cdot cos x

y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{cos x} + c \cdot cos x

Herzlilchen Dank, Roman-22 für deine Hilfe!
lg stinlein

Roman-22

11:49 Uhr, 14.03.2018

Ja, ist richtig, auch wenn beim Integral (schon wieder) das Differential

d x

fehlt und der Buchstabe

c

für alles Mögliche (aber Verschiedene) verwendet wird.

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12:11 Uhr, 14.03.2018

Sehe eben, auf meinem Konzept habe ich Gott sei Dank das

d x

stehen. Ich habe es vergessen einzutippen.
Danke, danke für die rasche Antwort. Hänge schon wieder bei der nächten Aufgabe!
Ganz liebe Grüße
stinlein

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12:14 Uhr, 14.03.2018

DANKE! DANKE!
stinlein

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