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Trennung der Variablen 4

Schüler

Tags: Differentialgleichung

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13:34 Uhr, 22.03.2018

Noch eine schwierige Aufgabe hätte ich zu lösen. Bitte nochmals um Hilfestellung! DANKE!
stinlein

Aufgabe:

y^{'} = \sqrt{y - x}

y'^{2} - y = - x

x'^{2} = y

y' = \sqrt{y}

integrieren

y = \frac{2 \cdot y^{\frac{3}{2}}}{3} + c

Erg. sollte sein:

2 (ln \sqrt{y - x} - 1) + \sqrt{y - x} = x + c

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:54 Uhr, 22.03.2018

Wie kommst Du von der 2. zur 3. Zeile?
Hier ist übrigens keine Trennung der Variablen möglich.

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13:57 Uhr, 22.03.2018

Du musst zuerst substituieren:

z (x) := y (x) - x

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13:59 Uhr, 22.03.2018

Hallo, DrBoogie!
Ja vielen Danke, da hatte ich einen Tippfehler. Es muss natürlich heißen

y' = \sqrt{y - x}

y'^{2} = y - x

y'^{2} - y = - x

TdV

y'^{2} = y

y' = \sqrt{y}

Jetzt integrieren!

y = 2 \cdot \frac{y^{\frac{3}{2}}}{x} + c

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14:00 Uhr, 22.03.2018

Es immer noch Schwachsinn.
Mach die Substitution

z := y - x

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14:04 Uhr, 22.03.2018

Danke, für den Tipp! Werde es dann gleich probieren. Hoffe schon sehr auf deine Hilfe und Geduld! Bist mir doch schon so oft beigestanden, danke!

y' = \sqrt{z}

y = \int \sqrt{z}

y = 2 \cdot \frac{z^{\frac{3}{2}}}{3}

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14:59 Uhr, 22.03.2018

Nach der Substitution darfst Du keine

y

oder

y^{ʹ}

mehr drin haben.
Also versuch es erneut.

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15:25 Uhr, 22.03.2018

1. Substitution:

z : = y - x

\int z^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{d z}{1} =

\int z^{\frac{1}{2}} d z = \frac{2 z^{\frac{3}{2}}}{3}

Ich möchte mich nicht nochmals so blamieren. Bitte, hilf mir weiter! Danke!
lg stinlein

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15:30 Uhr, 22.03.2018

Es ist leicht für mich, vorzurechnen.
Nur wird Dir hier schon so oft vorgerechnet, irgendwie hilft es am Ende doch nicht.
Also keine Angst vorm Blamieren, versuch doch selber was.
Wenn

z = y - x

, dann

z^{ʹ} = . . .

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15:35 Uhr, 22.03.2018

Bitte sei nicht so streng. Das bin ich von dir nicht gewöhnt. Ich stehe momentan völlig an, weiß nicht, ob nach

y

oder

x

differenzieren!
VERSUCH:

z = y - x

z^{'} = y - 1

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15:35 Uhr, 22.03.2018

Bitte sei nicht so streng. Das bin ich von dir nicht gewöhnt. Ich stehe momentan völlig an, weiß nicht, ob nach

y

oder

x

differenzieren!
VERSUCH:

z = y - x

z^{'} = y - 1

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15:39 Uhr, 22.03.2018

Du hast trotzdem alle richtig gemacht bis jetzt.
Differenziert wird hier nach

x

, denn

x

ist Variable,

y

ist aber eine Funktion,

y (x)

.

Schaffst Du jetzt

y^{ʹ}

und

y

in der Gleichung zu ersetzen, so dass am Ende eine Gleichung nur mit

z

und

z^{ʹ}

bleibt?

UPDATE. Eh, doch nicht ganz richtig. Aus

z = y - x

folgt natürlich

z^{ʹ} = y^{ʹ} - 1

und nicht was bei Dir steht.

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15:52 Uhr, 22.03.2018

Danke für die Richtigstellung! Ich weiß nicht, ob ich das schaffe. Probier einfach:

y' = \sqrt{y - x}

z' + 1 = \sqrt{z}

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15:53 Uhr, 22.03.2018

Ja, aber jetzt musst Du noch

y^{ʹ}

ersetzen. Nutze dazu

z^{ʹ} = y^{ʹ} - 1

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15:59 Uhr, 22.03.2018

Ja,

z^{ʹ} + 1 = \sqrt{z}

ist richtig.
Jetzt kann man Variablen trennen.
Hier ist erklärt, wie es geht:
http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node180.html

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16:04 Uhr, 22.03.2018

Scheint doch eine schwierigere Aufgabe zu sein. Sonst wären wir beide schon längst beim Ergebnis angelangt, oder nicht?
Danke dir trotzdem für die Bemühungen und Erklärungen, lieber DrBoogie! Werde weiter darüber grübeln.
lg stinlein

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16:05 Uhr, 22.03.2018

Wir beide? Ich kann es in 2 Minuten lösen.
Und dass es bei Dir so lange dauert, das ist nicht meine Schuld. :-)

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16:07 Uhr, 22.03.2018

Ich weiß das schon, dass die Schuld einzig und alleine bei mir liegt. Das ist schon OK.
lg stinlein

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16:08 Uhr, 22.03.2018

Ich denke da eher an Deine Schullehrer. Sie bekommen doch Geld dafür!

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16:13 Uhr, 22.03.2018

Ich glaube doch eher, dass ich mich eben schwer tue in Mathe. Gott sei Dank, gibt es ja noch andere Fächer, wo man Erfolg hat. Trotzdem: Mathe ist mir nicht unlieb, muss eben noch fleißiger sein als andere, die schneller begreifen!
lg stinlein

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16:15 Uhr, 22.03.2018

Fleiß hilft dort nur bedingt. Man braucht schon gute Erklärungen.

stinlein aktiv_icon

16:19 Uhr, 22.03.2018

Das stimmt, da hast du völlig recht. Ich richte mir jetzt einen starken Kaffee, vielleicht geht's dann besser.
Ganz liebe Grüße und trozdem danke - obwohl wir (

I C H)

trotz deiner Hilfe noch nicht weit gekomen sind (bin)!
Darf ich dich ganz lieb um eine gute Erklärung dieser Aufgabe bitten? Alle meine Versuche gehen leider ins Leere!
lg stinlein

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06:57 Uhr, 23.03.2018

Lieber DrBoogie!
Schade, dass keine Hilfe mehr von deiner Seite kommt. Ich hätte mich riesig gefreut, wenn du mir da weitergeholfen hättest. Du bist ja ein Könner und bräuchtest nur 2 Minuten, um diese Aufgabe zu lösen. Toll!
Vielleicht gibt es noch jemanden im Forum, der das auch kann und der bereit ist, mir zu helfen.
Dass ich keine anspruchsvolleren Aufgabe anbieten kann, das bedauere ich selber am meisten.
lg stinlein

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08:22 Uhr, 23.03.2018

Bis zu

z^{ʹ} + 1 = \sqrt{z}

kennst Du den Weg.
Danach trennt man Variablen:

z^{ʹ} = \sqrt{z} - 1

\frac{z^{ʹ}}{\sqrt{z} - 1} = 1

\frac{d z}{\sqrt{z} - 1} = d x

\int \frac{d z}{\sqrt{z} - 1} = x + C

Es bleibt

\int \frac{d z}{\sqrt{z} - 1}

zu integrieren.
Das kannst Du z.B. mit www.integralrechner.de machen.
Oder einfach mit der neuen Substitution:

w := \sqrt{z}

.
Damit gilt

d w = d z / (2 \sqrt{z})

und also

d z = 2 \sqrt{z} d w = 2 w d w

.
Also haben

\int \frac{d z}{\sqrt{z} - 1} = \int \frac{2 w d w}{w - 1} = \int \frac{(2 w - 2) d w}{w - 1} + \int \frac{2 d w}{w - 1} = 2 \int d w + 2 \int \frac{d w}{w - 1} = 2 w + 2 \ln (w - 1) + C_{1}

.
Und nach der Resubstitution ist es

2 \sqrt{z} + 2 \ln (\sqrt{z} - 1) + C_{1}

bzw. nach der 2. Resubstitution

2 \sqrt{y - x} + 2 \ln (\sqrt{y - x} - 1) + C_{1}

.

Am Ende hast Du also

2 \sqrt{y - x} + 2 \ln (\sqrt{y - x} - 1) = x + C

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09:38 Uhr, 23.03.2018

Übrigens, was ist das für eine Schule, wo man DGLs lösen muss? :-O

stinlein aktiv_icon

14:06 Uhr, 23.03.2018

Oh, welche positive Überraschung, lieber DrBoogie! Du hast mich nicht im Stich gelassen. Da kommt freude auf! Ich bin eben nach Hause gekommen und siehe da - du hast mir so super geholfen. Ich werde deine Lösung durchstudieren, ist ja keine so einfache Rechnung, jetzt kommen ja nächste Woche die Osterferien! DANKE dir ganz ganz herzlich - das hätte ich alleine

n i e

im Leben geschafft. Ich habe heute einige Mitschüler gefragt, aber du weißt ja, denen sind die Übungsaufgaben nicht so wichtig! Wenn man jemanden fragt, man bekommt immer dieselbe Antwort: "Da kenne ich mich selber nicht aus!" Deshalb hat mein Herz heute wirklich höher geschlagen - deine Osterüberraschung ist wirklich gelungen. DANKE! DANKE!
Bist eben doch ein hilfbereiter Mensch, der junge Leute in Mathe unterstützt - hast eben sofort gespürt und gemerkt, dass ich da völlig daneben stehe bzw. stand.
Ich wünsche dir auf alle Fälle ein schönes, geruhsames Osterfest und freue mich schon sehr darauf, deine Hilfe weiterhin in Anspruch nehmen zu dürfen. Alles Gute und nochmals besten Dank für deinen Arbeitsaufwand. (Ich besuche die HTL, bin erst in der 4. Klasse! Matura noch weit entfernt!)

D A N K E!!!!

lg stinlein

PS: Sollte ich das nicht nachvollziehen können, ich bin lästig und wage es dann, nochmals bei dir anzuklopfen!

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