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Trennung der Variablen lösen

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen,

Tags: Trennung der Variablen, Variable, Variable ausrechnen

iceFr3ak2000 aktiv_icon

21:05 Uhr, 13.02.2019

Hallo liebe Forummitglieder,

ich habe eine Frage zu einer Gleichung zum Themengebiet "Trennung der Variablen".
Die Angabe lautet:
Gegeben sei die nebenstehende Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung mit Nebenbedingung.
- Berechne die allgemeine Lösung der DGL, die durch den Punkt

P

geht.
- Ermittle die spezielle Lösung der DGL, die durch den Punkt

P

geht.
- Überprüfe Dein Ergebnis durch eine Probe. Führe diese Probe mit der speziellen Lösung der DGL durch.
DGL:

x \cdot y' + x \cdot y = y, P (1 | 1)

Ich habe versucht dieses Beispiel zu rechnen, bin aber leider auf kein eindeutiges Ergebnis gekommen:

x \cdot y' + x \cdot y = y

y' + x \cdot y = \frac{y}{x}

y' = \frac{y - x \cdot y}{x}

\frac{d y}{d x} = \frac{y - x \cdot y}{x}

\frac{1}{y} d y = \frac{y - x}{x} d x

\int (- \frac{y}{y}) d y = \int (- \frac{x}{x}) d x

und ab diesem Punkt war ich einfach verwirrt auf so eine Rechnung zu kommen.
Ich denke, dass ich schon ab diesem Schritt etwas falsch gemacht habe.
Ich habe dann weiter gerechnet und bin dann auf diese allgemeine Lösung gekommen:

- (- \frac{y^{2}}{2}) \cdot ln (y) = - (\frac{x^{2}}{2}) \cdot ln (x) + C

- y^{2} \cdot ln (y) = - x^{2} \cdot ln (x) + C

- y \cdot ln (y) = - \sqrt{x^{2} \cdot ln (x)} + C

- y \cdot y = - e^{\sqrt{x^{2} \cdot ln (x)}} \cdot C

y = \sqrt{e^{\sqrt{x^{2} \cdot ln (x)}}} \cdot C

\Rightarrow

allgemeine Lösung

spezielle Lösung:

1 = \sqrt{e^{\sqrt{1^{2} \cdot ln (1)}}} \cdot C

1 = 1 \cdot C

C = 1

y = \sqrt{e^{\sqrt{x^{2} \cdot ln (x)}}} \cdot 1

Probe:

1 = \sqrt{e^{\sqrt{1^{2} \cdot ln (1)}}} \cdot 1

1 = 1 \cdot 1

1 = 1

Ich denke, dass mein Ergebnis falsch ist, da es sehr komisch aussieht und der Rechenweg nicht korrekt aussieht.
Kann mir bitte jemand bei diesem Beispiel weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

22:12 Uhr, 13.02.2019

Gegeben:

x \cdot y' + x \cdot y = y

mit

P (1 | 1)

.

Standardverfahren "Trennung der Variablen" (siehe Anhang):

Trennen:

x \cdot \frac{d y}{d x} + x \cdot y = y

\Rightarrow

x \cdot d y + x \cdot y \cdot d x = y \cdot d x

\Rightarrow

x \cdot d y = y \cdot (1 - x) \cdot d x

\Rightarrow

\frac{1}{y} \cdot d y = \frac{1 - x}{x} \cdot d x

\Rightarrow

\frac{1}{y} \cdot d y = (\frac{1}{x} - 1) \cdot d x

.

Integrieren:

ln (y) = ln (x) - x + c

\Rightarrow

y = e^{ln (x) - x + c} = x \cdot e^{- x + c}

c

bestimmen:

1 = 1 \cdot e^{- 1 + c} \Rightarrow c = 1

.

Also

y = x \cdot e^{- x + 1}

.

Test:

x \cdot y' + x \cdot y = y

\Rightarrow

x \cdot (x \cdot e^{- x + 1})' + x \cdot x \cdot e^{- x + 1} = x \cdot e^{- x + 1}

\Rightarrow

x \cdot (e^{- x + 1} - x \cdot e^{- x + 1}) + x \cdot x \cdot e^{- x + 1} = x \cdot e^{- x + 1}

\Rightarrow

x \cdot e^{- x + 1} - x \cdot x \cdot e^{- x + 1} + x \cdot x \cdot e^{- x + 1} = x \cdot e^{- x + 1}

\Rightarrow

x \cdot e^{- x + 1} = x \cdot e^{- x + 1}

abakus

22:27 Uhr, 13.02.2019

Das mag ja ganz schön sein, hilft dem Fragesteller aber nur bedingt, weil du auf seine groben Schnitzer in den Umformungen nicht eingehst.
Da wäre zunächst mal:
Im übergang von der ersten zur zweiten Zeile wird offensichtlich versucht, die Gleichung durch x zu teilen.
Dann müsste die nächste Zeile richtig lauten:
y'+y=y/x.
Es wurde einfach vergessen, auch den zweiten Summanden xy durch x zu teilen.
Auch wenn durch diesen Fehler alles andere sowieso falsch wird: Der gleiche Fehler wurde noch einmal beim Übergang von der 4. zur 5. Zeile gemacht. Neben der Multiplikation mit dx wurden auch noch beide Seiten durch y geteilt. Dann müsste der Zähler auf der rechten Seite eigentlich
1-x (und nicht y-x) sein.

anonymous

22:40 Uhr, 13.02.2019

Anbei eine alte Zettelnotiz zur Frage,
wieso dieses Verfahren denn nun überhaupt klappt.
(Ist damals im Rahmen eines kleinen Exkurses von mir
zum logistischen Wachstum für den Bio-Unterricht
an der Abendschule entstanden.)
Ich selber hatte dieses Thema nie im Mathe-Unterricht,
habe mir dieses Verfahren also selbst angeeignet...

iceFr3ak2000 aktiv_icon

22:36 Uhr, 14.02.2019

Danke an euch beide! Ihr habt mir sehr mit euren Antworten geholfen und ich weiß jetzt was ich bei meinem Lösungsweg falsch gemacht habe und wie ich zur richtigen Lösung komme :-)

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