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Trennung von Imaginär- und Realteil

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: imaginärteil, isolieren, Komplexe Zahlen, realteil, trennen

DrOetkerrr aktiv_icon

10:02 Uhr, 17.03.2009

Hallo zusammen,
bin langsam am verzweifeln, vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen. Wäre super nett!
Also ich habe hier eine Gleichung bei der ich den Real- und Imaginärteil trennen will. Normalerweise multipliziere ich einfach Zähler und Nenner mit dem konjugiert komplexen Ausdruck des Nenners und voila mein Imaginärteil steht im Zähler und ich kann es trennen. Im Buch (Lutz/ Wendt 7.Auflage $S . 216)$ lassen die den imaginären Antiel im Nenner und trennen so???

Gleichung:

$\frac{K_{R} \cdot K_{S}}{1 - 3 \cdot T^{2} \cdot ω^{2} + j ω \cdot (3 \cdot T - ω^{2} \cdot T^{3})} = F_{R S} (j ω)$

nun muss der Imaginärteil und der Realteil getrennt werden. Der Realteil soll -1 werden und der Imaginärteil soll 0 werden. Der Sinn ist, die kritische Frequenz $ω_{k r i t}$ und ein kritisches $K_{R k r i t}$ heraus zu bekommen. Warum das so ist tut jetzt hier nichts zur Sache.

So nun sagt er einfach:

$I m {F_{R S} (j ω_{k r i t})} = 0$

dann kommt eine kritische Frequenz: $ω_{k r i t} = \frac{\sqrt{3}}{T}$ raus. Wenn ich das auf meine Weise rechne (s.o.) komme ich auf das gleiche Ergebniss.

aber den nächsten Schritt verstehe ich nicht:

Er setzt jetzt $ω_{k r i t}$ in den Realteil ein und setzt diesen gleich -1:

$Re {F_{R S} (j ω_{k r i t})} = - 1$

und behauptet, dass der Realteil

$\frac{K_{R} \cdot K_{S}}{1 - 3 \cdot T^{2} \cdot ω_{k r i t}^{2}} = \frac{K_{R} K_{S}}{1 - 9} = - 1 \Rightarrow K_{R k r i t} = \frac{8}{K_{S}}$

ist.

wenn ich aber wie oben beschrieben Zähler und Nenner mit dem konjugiert komplexen Ausdruck multipliziere, komme ich auf folgenden Realteil:

$\frac{K_{R} K_{S} (1 - 3 T^{2} ω^{2})}{{(1 - 3 T^{2} ω^{2})}^{2} + {(3 T ω - T^{3} ω^{3})}^{2}} = - 1$

für $ω$ setze ich $ω_{k r i t}$ ein.

Dann komme ich auf die Lösung:

$K_{R k r i t} = \frac{7, 4}{K_{S}}$

vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen, ich wäre sehr dankbar.

Sollte ich noch ein paar Zwischenschritte posten, dann mache ich das gerne.

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Enrico aktiv_icon

12:59 Uhr, 17.03.2009

Hallo,

ich denke du hast dich einfach nur verrechnet!

Wenn ich für

ω_{k r i t}

den Wert

\frac{\sqrt{3}}{T}

in die Gleichung für den Immaginärteil einsetze, bekomme ich folgendes:

\frac{K_{R} K_{S} \cdot (1 - 3 T^{2} \frac{3}{T^{2}})}{{(1 - 3 T^{2} \frac{3}{T^{2}})}^{2} + {(3 T \frac{\sqrt{3}}{T} - T^{3} 3 \frac{\sqrt{3}}{T^{3}})}^{2}} = - 1

\Leftrightarrow \frac{K_{R} K_{S} \cdot (1 - 9)}{{(1 - 9)}^{2} + {(3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3})}^{2}} = - 1

\Leftrightarrow \frac{K_{R} K_{S} \cdot (1 - 9)}{{(1 - 9)}^{2} + 0} = - 1

\Leftrightarrow \frac{K_{R} K_{S}}{(1 - 9)} = - 1

Und das ist genau das was in deinem Buch steht ;-)

LG Enrico

DrOetkerrr aktiv_icon

13:16 Uhr, 17.03.2009

Oh shit,
nun fällt es mir wie Schuppen von den Augen. Habe 2 mal hintereinander den gleichen Fehler gemacht.
Vielen Dank, dass du das nochmal gerechnet hast.

...bin auch sehr positiv überrascht, dass das mit der Antwort so schnell ging. Ist das erste mal, dass ich hier was reingestellt habe.

Genial

!!!!

Also dann vielen besten Dank nochmal

LG Erik

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