Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Treppenfunktion

Treppenfunktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Treppenfunktion

gonnabeph aktiv_icon

10:56 Uhr, 19.04.2015

Hallo, ich habe die Aufgabe:

a) Ist

φ

eine Treppenfunktion dann ist auch

∣ φ ∣

eine Treppenfunktion. Gilt die Umkehrung (für reelle Treppenfunktionen)?

b) Sind

φ

ψ

reelle Treppenfunktionen so sind auch

m a x (φ, ψ)

und

m i n (φ, ψ)

Treppenfunktionen.
c) Ist

φ

eine reelle Treppenfunktion so sind auch max

(φ, ψ)

Treppenfunktionen, wobei

φ^{+} (x) = {

φ (x), wenn φ (x) \geq 0

0, & sonst}

φ^{-} (x) = φ^{+} (x) - φ (x)

Meine Ideen:

a) Ich muss zeigen wenn

∣ φ ∣

eine Treppenfunktion ist dann auch

φ

eine Treppenfunktion ist.
Ich habe erstmal die Definition einer Treppenfunktion ausgekramt.

φ = \sum_{k = 1}^{s} c_{k} χ_{Q_{k}}

. Mein erster Gedanke war nun es irgendwie durch eine Abschätzung zu zeigen. Allerdings könnte ich auch mit dem

m a x (φ)

und

m i n (φ)

argumentieren da

m a x (φ) = ∣ φ ∣ \leq φ

gilt.

φ

müsste dann

φ = m i n (φ)

sein? (Wird in der b) gesagt)

b) Eventuell hier mit dem den Identitäten zum Maximum und Minimum arbeiten?

m a x (φ, ψ) = m a x φ + m a x ψ

und nun die Reihen einsetzen und versuchen wieder eine gleiche Darstellung der Reihe zu erhalten?

Für

m i n (φ, ψ) = \frac{φ + ψ + ∣ φ - ψ ∣}{2}

und damit arbeiten?

c) Noch keine Idee

Danke schonmal! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

PhantomV aktiv_icon

20:07 Uhr, 19.04.2015

Hi,

such die GENAUE Definition einer Treppenfunktion raus ;-). Was

z . B

. ist

c_{k}

was ist

Q_{k}

.
Zu

a) :

Was passiert wenn du bei deiner Treppenfunktion

c_{k}

jeweils durch

| c_{k} |

ersetzt?
Deine "Identitäten" zum

max

und

min

stimmen nicht:

max (φ) = | φ | \leq φ . .

. bitte nicht ;-).
Die Umkehrung bei

a)

gilt nicht überleg dir warum.

Noch ein Tipp:

max (a, b) = \frac{1}{2} (a + b + | a - b |)

und

min (a, b) = \frac{1}{2} (a + b - | a - b |)

Gruß PhantomV

gonnabeph aktiv_icon

20:54 Uhr, 19.04.2015

Hallo, wir haben noch aufgeschrieben:

φ : R^{n} \to C

heißt Treppenfunktion auf

R^{n}

, wenn es endlich viele paarweise disjunkte Quader gibt, so dass
a)

φ

auf jeden

Q_{k}, k = 1, . . ., s

konstant
b)

φ (x) = 0

für alle

x \in R^{n} \ ⋃_{k = 1}^{s} Q_{k}

Q_{k}

sind die Quader.

Wir haben auch geschrieben das wir jede Treppenfunktion auf

R^{n}

als Linearkombination aus

φ = \sum_{k = 1}^{s} c_{k} 1 Q_{k}

schreiben können.

Zu deiner Frage was passiert wenn

c_{k}

durch

∣ c_{k} ∣

ersetzt wird. Das würde bedeuten das

∣ c_{k} ∣ \geq 0

gilt.

Ist die Umkehrung verletzt da es in dem Fall keine paarweise disjunkte Quader gibt?

b) Soll ich deine Identitäten ausnutzen oder war das nur ein kleiner Einschub? :-)

PhantomV aktiv_icon

21:05 Uhr, 19.04.2015

Das

| c_{k} | \geq 0

gilt ist klar ;-). Darauf wollte ich aber nicht hinaus, sondern was passiert
wenn du eine Funktion konstruierst mit den gleichen Quadern wie bei

φ

nur eben
die Koeffizienten durch

| c_{k} |

ersetzt anstatt

c_{k}

. Ist das eine Treppenfunktion und ist das
vllt

| φ |

?

Warum ist die Umkehrung bei

a)

nicht erfüllt? Denke anstatt an

R^{n}

einfach an R.
Quader sind hier Intervalle. Dort sollte dir ein Gegenbeispiel einfallen.

Und ja, die Identitäten sollst/kannst du nutzen.

Gruß PhantomV

gonnabeph aktiv_icon

21:21 Uhr, 19.04.2015

Ok, wenn ich mir die Quader als Intervalle vorstellen soll, dann werden natürlich nicht alle Intervalle überdeckt. Demnach gilt die Umkehrung auch nicht. Aber ich meine das muss ich ja noch mathematisch verpacken.

zu der b)

m a x (φ, ψ) = \frac{1}{2} (φ + ψ + ∣ a - b ∣)

Ich kann das per Dreiecksungleichung einmal abschätzen. Demnach gilt:

\leq \frac{1}{2} (φ + ψ + ∣ φ ∣ - ∣ ψ ∣)

Nun weiß ich das

∣ φ ∣

und

∣ ψ ∣

wieder Treppenfunktionen sind da

φ

und

ψ

Treppenfunktionen sind.
Analog dann für min?

PhantomV aktiv_icon

21:48 Uhr, 19.04.2015

Dein erster Satz ist unklar, vllt kannst du das begründen, bzw. warum dann die Umkehrung nicht gilt.
Vllt kennst du ja die Dirichletsche Sprungfunktion, damit kannst du eine Funktion konstruieren
deren Betrag konstant 1 ist aber die keine Treppenfunktion ist (salopp: springt zu oft hin und her).
Wenn du sie nicht kennst google ;-).

Bei

b)

musst du nicht mehr viel rechnen wenn du weißt dass die Summe, Differenz und nach

a)

auch der Betrag einer Treppenfunktion wieder eine Treppenfunktion ist. Damit ergibt sich
mit der Identität sofort die Beh.

gonnabeph aktiv_icon

17:50 Uhr, 20.04.2015

Ich habe jetzt mal gegooglet und die Definition gefunden

D (x) =

{1, w e n n x r a t i o n a l

0, w e n n x i r r a t i o n a l}

Das heißt, wenn

∣ D (x) ∣

eine Treppenfunktion ist, dann muss

D (x)

auch eine Treppenfunktion sein.

D (x)

lässt sich allerdings nicht als Treppenfunktion angeben.
Reicht das schon? :-)

PhantomV aktiv_icon

00:00 Uhr, 21.04.2015

Hi,

deine Aussage ist falsch. Wir wollen ja gerade zeigen, dass es eben nicht gilt,

d . h

. dass
aus

| f |

Treppenfunktion nicht

f

Treppenfunktion folgen muss. Ändere bei deiner Funktion

D

das 0 zu

- 1

ab und überlege dir warum du dann ein Gegenbeispiel hast.

Gruß PhantomV

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1229292

1228739

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?