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Treppenfunktion (Verständnisfrage)

Universität / Fachhochschule

Integration

Maßtheorie

Tags: Integration, Maßtheorie

Salasah aktiv_icon

20:00 Uhr, 06.11.2013

Hallo ich habe eine Frage zu den Treppenfunktionen.
Wir haben die Treppenfunktionen wie folgt definiert:

f (x) = \sum_{i = 1}^{m} c_{i} \cdot 1_{A_{i}} (x)

mit

A_{i} \in A', c_{i} \in

reellen Zahlen,

A_{1}, ..., A_{m}

disjunkt,

m \in N_{0}

. Mit

A'

meine ich eine

σ

-Algebra und mit

1_{A_{i}}

die charakteristische Funktion.

Man will mit den Treppenfunktionen ja eine Funktion approximieren.
Ich frage mich warum das eine Summe sein muss?
Ich meine wenn ich irgendein

x

festhalte und dieses

x

ist in

A_{i},

dann erhalte ich als Wert

c_{i}

und für alle anderen summanden erhalte ich

0,

weil

x \notin A_{j}, j

ungleich

i

. (Da ja die

A_{1}, ..., A_{m}

disjunkt sind, also ist die Charakteristische Funktion überall

0)

Versteht jemand was ich meine?

. .

: (

Sina86

00:23 Uhr, 07.11.2013

Hallo,

genau richtig erkannt. Auf der Menge

A_{i}

ist die Funktion konstant

c_{i}

. Nimm z.B. die Funktion

f (x) = \sum_{i = 1}^{n} i 1_{(i, i + 1)} (x)

und stell dir den Graphen dabei vor (zeichne ihn dir vlt für

n = 4

, oder so. Diese Funktion ist über den offenen Intervallen

(1, 2), (2, 3), . . ., (n, n + 1)

konstant

1, 2, . . ., n

und somit genau das, was man sich unter einer Treppenfunktion vorstellt.

Deine Definition davon ist ja einfach nur eine Verallgemeinerung.

Beste Grüße
Sina

Salasah aktiv_icon

11:23 Uhr, 07.11.2013

Achso, was ich mich jedoch noch frage ist:
Warum ist in dieser Funktion eine Summe?
Ich meine Nur ein Summand ist immer ungleich null.
Kann man die Funktion dann nicht einfach so schreiben:

f (x) = i \cdot 1_{i, i + 1} (x)

für

i = 1, ..., n

Oder so... mhm

Sina86

18:29 Uhr, 08.11.2013

Nein, kann man nicht. Man müsste es schreiben als

f (x) = {\begin{array}{cl} 1, & x \in (1, 2) \\ 2, & x \in (2, 3) \\ ⋮ & ⋮ \\ n, & x \in (n, n + 1) \\ 0, & s o n s t \end{array}

Ich kommentiere das jetzt mal nicht weiter. Darüber hinaus ist die Idee von Treppenfunktionen, dass man sie für die Berechnung des Lebesgue-Integral einführt. Dann definiert man nämlich

\int_{A_{i}} c_{i} 1_{A_{i}} d μ := c_{i} μ (A_{i})

, wobei

μ

das betrachtete Maß (i.A. das Lebesgue-Maß) ist. Durch die natürliche Additivität des Integrals, und da

A_{i} \cap A_{j} = \emptyset

für

i \neq j

ergibt sich dann ganz einfach

\int_{Ω} f d μ = \int_{Ω} \sum_{i = 1}^{m} c_{i} 1_{A_{i}} d μ = \sum_{i = 1}^{m} \int_{Ω} c_{i} 1_{A_{i}} d μ = \sum_{i = 1}^{m} \int_{A_{i}} c_{i} 1_{A_{i}} d μ = \sum_{i = 1}^{m} c_{i} μ (A_{i})

Das erleichtert die Betrachtung erheblich.

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