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Treppenfunktionenfolge
Universität / Fachhochschule
Funktionenfolgen
Tags: Funktionenfolgen, Thomaefunktion, Treppenfunktion
 
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Hallo, ich lerne für eine Klausur und komme bei dieser Aufgabe nicht weiter (die Aufgabe ist im ersten Bild, die Thomaefunktion im zweiten Bild) Was ich mir überlegt habe, ist eine Abzählung der rationalen Zahlen zu wählen: mit und Und dann setze ich auf dem Intervall gleich mit Ist diese Überlegung überhaupt korrekt? Wenn ja, wie kann ich weiter in den irrationalen Punkten approximieren? Vielen Dank!   |
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Hallo, als untere Treppenfunktionen wähle ich für alle die Nullfunktion , Eine obere Treppenfunktion konstruiere ich zu jedem im Folgenden so, dass gilt , also auf . Ich werde so definieren, dass die Differenz der Ober- und Untersummen für gilt. In gibt es zu jedem nur endlich viele mit einem unkürzbaren Nenner . Der Abstand zweier Nachbarn: ist mindestens Nun definieren wir und . Damit müsste es gehen ??? Gruß ermanus |
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Bei meiner Wahl von bin ich aus "Faulheitsgründen" etwas grob vorgegangen, so dass zwar die Riemann-Integrierbarkeit mit Wert 0 gezeigt ist, aber meine Folge nicht einmal punktweise gegen konvergiert. Es ist aber nicht schwierig, meine Definition der so abzuändern, dass punktweise erfüllt ist. |
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Danke für die Antworten. Ich muss noch ein bisschen daran arbeiten, aber ich glaube ich hab es jetzt verstanden. Ich hätte noch eine Frage. Ich hab inzwischen auch eine alternative Lösung gefunden und brauche ein bisschen Hilfe um etwas zu verstehen: "Setzen wir mit . eine Abzählung der rationalen Zahlen. Dann stimmt mit in den rationalen Punkten sowie allen irrationalen Punkten überein. " Kann mir jemanden dieses Teil erklären und warum es so geht? Ich verstehe diese Schreibweise nicht: Vielen Dank noch einmal |
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Hallo, mit ist die charakteristische Funktion / Indikatorfunktion einer Menge gemeint: In unserem Falle also . Wenn man dies mit multipliziert, bekommt man somit . In den Punkten stimmt mit überein, in allen anderen Punkten ist und stimmt daher auch in den irrationalen Punkten mit überein. Es ist klar, dass punktweise gilt. Es ist aber . Daher würde es mich interessieren, wie die alternative Lösung das Riemann-Integral abschätzen kann. Könntest du mir einen Link geben oder einen Scan, damit ich diese Lösung mal anschauen kann? Gruß ermanus |
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Alles macht Sinn jetzt, danke schön! Die ganze Lösung kannst du im Bild sehen Freundliche Grüße!  |
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Ja, aber der Schluss, dass , hat hier doch nur zur Folge, dass ist ( = Untersumme zu einer Zerlegung ). Wenn also Riemann-integrierbar ist, dann ist das Integral . Aber genau das wissen wir doch gar nicht. Denn das gleiche angebliche Argument kann ich dann ja auch für die Dirichlet-Funktion benutzen: Dann wäre diese ebenfalls Riemann-integrierbar mit dem Riemann-Integral 0. Bekanntermaßen ist die Dirichlet-Funktion aber nicht Riemann-integrierbar, weil man die Obersummen nicht unter 1 drücken kann. Dass die Lebesgue-Integrale beider Funktionen existieren und sind, ist hingegen trivial. OK: es gibt einen Unterschied, der möglicherweise gravierend ist: während die Folge der gleichmäßig gegen konvergiert, würde eine analog konstruierte Folge im Dirichlet-Fall nur punktweise gegen konvergieren. Daher solltest du genau in deinen Unterlagen gucken, was du im Falle gleichmäßiger Konvergenz über das Riemann-Integral aussagen kannst. |
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Der Satz, der mir nicht mehr bewusst war, ist: Der Raum der auf einem kompakten Intervall Riemann-integrierbaren Funktionen ist bzgl. gleichmäßiger Konvergenz vollständig. Damit ist die "alternative Lösung" korrekt und natürlich viel einfacher als meine. Gruß ermanus |
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Alles klar, danke! |
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