Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Treppennormalform

Treppennormalform

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Bizepsbenny aktiv_icon

18:18 Uhr, 21.10.2017

Hallo,

ich habe meine Aufgabe wieder im Anhang gepostet.

Meine Frage zum Beweis:

Wenn

X

eine beliebe

2 x 3

Matrix mit Einträgen aus

ℝ

ist, dann kann ich sie doch in dieser Form schreiben:

X = (\begin{matrix} a & a & a \\ a & a & a \end{matrix})

mit

a \in ℝ

und in die Treppennormalform

T = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

überführen.

Jetzt noch zeigen, dass ich mit A(BX) auf die gleiche Treppennormalform komme.

Stimmt das so? Oder habe ich gerade einen Denkfehler.

Gruß
BB

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

18:30 Uhr, 21.10.2017

Hallo,
verstehe deinen Ansatz gerade nicht,

X

soll doch beliebig sein, z.B.

X = (\begin{array}{ccc} u & v & w \\ x & y & z \end{array})

mit irgendwelchen

u, v, w, x, y, z \in ℝ

.
Gruß ermanus

Bizepsbenny aktiv_icon

20:11 Uhr, 21.10.2017

@ermanus

Sorry, war ne dumme Überlegung.

Ich habe deine Matrix genommen und in Treppennormalform überführt:

X = (\begin{matrix} u & v & w \\ x & y & z \end{matrix})

mit

u, v, w, x, y, z \in ℝ

und

u, v, x, y \neq 0

.

Ich habe als TNF von

X

raus:

T = (\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{v (w \cdot x + u \cdot z)}{u (v \cdot x + u \cdot y)} + \frac{w (v \cdot x + u \cdot y)}{u (v \cdot x + u \cdot y)} \\ 0 & 1 & \frac{w \cdot x + u \cdot z}{v \cdot x + u \cdot y} \end{matrix})

Kommt das bei dir auch raus?

Gruß
BB

ermanus aktiv_icon

21:14 Uhr, 21.10.2017

Das habe ich nicht probiert, da ja bei dieser "konkrete Methode" sicher gestellt
werden müsste, dass z.B.

v x + w y \neq 0

sein müsste, sonst könnte man gar nicht
dadurch dividieren. Da diese Aufgabe vermutlich nicht "unmenschlich" ist,
wird eher davon auszugehen sein, dass man gar nicht die konkrete Treppennormalform
angeben muss, sondern sich Gedanken darüber machen soll, welche besonderen
Eigenschaften eine solche Normalform hat.

Du solltest deine Vorlesung/Kursunterlage auf die Begriffe Zeilenäquivalenz,
Äquivalenzrelation, Matrix in Treppennormalform als spezielle Repräsentantin
der Äquivalenzklasse bzgl. Zeilenäquivalenz anschauen. In diesem Zusammenhang
sollte auch die Rede davon sein, dass diese Repräsentantin einzig ist.

Also studiere deine Unterlagen dahingehend, ich sehe sonst keinen anderen
sinnvollen Weg, diese Aufgabe zu lösen. Sie ist nicht schwer, aber man muss
Einiges aus der Theorie wissen ...

Bizepsbenny aktiv_icon

21:51 Uhr, 21.10.2017

@ermanus

Das wäre echt unmenschlich :-D)

Es gibt im Skript eine Proposition, die besagt:

"Sei

A \in M_{m n} (K)

. Dann gilt:
Wenn

P \in M_{m m} (K)

invertierbar ist, so gilt

R g (A) = R g (P A)

."

Übertragen auf die Aufgabe würde es bedeuten:

Sei

X \in M_{23} (ℝ)

. Dann gilt:

Wenn

A B \in M_{22} (ℝ)

invertierbar ist, so gilt

R g (X) = R g (A (B X))

.

Ich habe das Produkt

A B

ausgerechnet und erhalte

A B = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 2 a & 3 \end{matrix})

.
Diese Matrix ist invertierbar (ihre TNF ist die Einheitsmatrix) und sie hat somit Rang

(2)

.
Es gilt also gemäß der Proposition

R g (A (B X)) = 2 = R g (X)

.
Da der Rang einer Matrix gleich der Anzahl der Pivot-Positionen in der Treppennormalform zu der Matrix ist, haben

X

und

A (B X)

die gleiche Anzahl von Pivot-Positionen und damit diesselbe Treppennormalform.

Würde das so ungefähr hinkommen?

Gruß
BB

ermanus aktiv_icon

23:50 Uhr, 21.10.2017

So ganz funktioniert das noch nicht, da z.B. die Matrizen

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

und

(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

denselben Rang haben,
aber unterschiedliche Treppennormalformen sind.
Ich melde mich morgen - ausgeschlafen - wieder. Bis dann

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

08:57 Uhr, 22.10.2017

Ich habe noch alte Hagener Kursunterlagen gefunden. Da gibt es in Kurseinheit 2
das Korollar 4.4.5. Hilft das nicht vielleicht weiter?

Bizepsbenny aktiv_icon

11:23 Uhr, 22.10.2017

@ermanus

Hallo,

ja das ist eine gute Idee.

Das heißt man müsste zeigen, wenn A(BX) durch elementare Zeilenumformungen aus

X

hervorgeht, dann geht

X

durch elementare Zeilenumformungen aus A(BX) hervor.

Also muss es es ein Produkt von Elementarmatritzen

S

geben, mit

SA(BX)=X und S'X=A(BX) mit

S'

als inverse Matrix von S.

Sehe ich das richtig?

Gruß
BB

ermanus aktiv_icon

11:26 Uhr, 22.10.2017

Ja, so sehe ich das auch.
Nun ist ja

A (B X) = (A B) X

. Du müsstest also zeigen, dass

A B

ein Produkt
von Elementarmatrizen ist ...

Du musst nicht zeigen, dass

X

aus

A (B X)

durch ein Produkt aus Elementarmatrizen
hervorgeht. Das Skript (Einheit 1) sagt dir, dass "

\sim_{Z}

" symmetrisch ist.

Bizepsbenny aktiv_icon

12:30 Uhr, 22.10.2017

@ermanus

Also mein Lösungsansatz sieht jetzt so aus:

Ich zeige, dass

A B

invertierbar ist über die Umformung von

A B' = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 2 a & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Es folgt dann, dass

A B

ein Produkt von Elementarmatrizen ist und es folgt aus:

X = (A B) X \Rightarrow X ~ z X

Mit dem AssG gilt

X = A (B X) \Rightarrow X ~ z B X

Jetzt fehlt nur noch der Schritt

X ~ z A (B X)

Da hängt es irgendwie ;-)

Gruß
BB

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1391976

1391803

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?