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Trichotomiesatz, Ordinalzahlen

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Sonstiges

Tags: Algebra, Analysis, Mengenlehre, Sonstig, Zahl

 
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S-amalgh

S-amalgh

12:55 Uhr, 25.11.2021

Antworten
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte unbedingt dabei helfen der Satz zu beweisen? Ich habe am Montag einen Vortrag und ich muss dieser Satz beweisen..
Danke im Voraus!

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
tobit

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17:02 Uhr, 27.11.2021

Antworten
Hallo S-amalgh,

z.B. unter www.math.uni-kiel.de/logik/de/spinas/archiv/mengen-1.pdf findest du diesen Satz als Punkt e) von Satz 3.6.

Prüfe, ob die dort gewählte Definition von Ordinalzahlen (direkt vor Satz 3.6) zu eurer passt.

Falls ja, brauchst du neben den Definition einer Ordinalzahl (einschließlich des Begriffs Wohlordnung) nur c) bis e) von Satz 3.6 mit den angegebenen Beweisen zu verstehen und am Montag vorzutragen. Bei Unklarheiten kannst du gerne hier Rückfragen stellen.

Falls nein: Wie lautet eure Definition einer Ordinalzahl?

Viele Grüße
Tobias
S-amalgh

S-amalgh

03:02 Uhr, 29.11.2021

Antworten
Danke erstmal für deine Antwort
Wir haben die Ordinalzahl so definiert:
Eine transitive Menge x heißt Ordinalzahl, wenn alle ihre Elemente ebenfalls transitiv sind.
Antwort
tobit

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07:13 Uhr, 29.11.2021

Antworten
Hallo S-amalgh,

besitzt du das Buch "Grenzen der Mathematik" von Dirk W. Hoffmann? Vermutlich stammt das im Ausgangspost von dir gepostete Bild daraus. In diesem Buch findest du auch einen Beweis, der zu eurer Definition passt. Bei Unklarheiten dazu kannst du gerne nachfragen.

Viele Grüße
Tobias
S-amalgh

S-amalgh

12:15 Uhr, 29.11.2021

Antworten
Ja genau ich habe dieses Buch aber ich habe der Beweis da nicht so gut verstanden deswegen
Antwort
tobit

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12:52 Uhr, 29.11.2021

Antworten
Mir liegt die 3. Auflage von Hoffmans Buch vor. Dir auch?

Kannst du näher eingrenzen, was an der Argumentation du verstehst und was nicht?

Ich schreibe T(α,β) für die "Trichotomie-Eigenschaft" (αβα=ββα) (Hoffmann verwendet hier ein Fraktur-T, das ich hier im Forum nicht hinbekomme).

Der Beweis wird ja als indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis) geführt.
Wir nehmen also an, dass nicht für alle Ordinalzahlen α,β die Trichotomieeigenschaft T(α,β) gilt und müssen einen Widerspruch herleiten.
Soweit klar?

Der eigentliche Beweis besteht dann ja im Wesentlichen aus zwei Teilen:
(i) Konstruktion von Ordinalzahlen α0 und β0 mit den Eigenschaften a) b) und c).
(ii) Nachweis von T(α0,β0) mithilfe von b) und c).

Da T(α0,β0) der Eigenschaft a) widerspricht, haben wir dann den gesuchten Widerspruch gefunden.

Ist dir der gesamte Aufbau jetzt bis auf die Einzelheiten von (i) und (ii) klar?
Ist dir die Konstruktion zu (i) von Hoffmann klar?
Ist dir Hoffmanns Nachweis von (ii) klar?
Antwort
tobit

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14:56 Uhr, 29.11.2021

Antworten
(Der Beweis von Hoffmann enthält in (i) aus meiner Sicht im Detail zwei vermutlich unbeabsichtigte Lücken, die sich aber schließen lassen:
- Er wendet das Fundierungsaxiom auf Klassen (die nicht als Mengen identifiziert wurden) an, ohne zu begründen, dass dies hier möglich ist.
- Es fehlt die Begründung, dass z.B. mit α0 auch alle Elemente αα0 Ordinalzahlen sind. Das wird jedoch benötigt, um die Gültigkeit von b) zu zeigen.)

(Mit "kleinsten" Elementen meint Hoffmann im Beweis eigentlich "minimale" Elemente.)
S-amalgh

S-amalgh

03:34 Uhr, 02.12.2021

Antworten
Hallo tobias,
also verstehe ich nicht wofür wir α0 und β0 geschrieben haben
Und ich verstehe a),b) und c) nicht
auch 1. ,2. und 3. nicht...
Ich wäre sehr dankbar wenn wir den Beweis Schritt für Schritt gehen könnten und du mir erklären würdest was das Ziel von jedem Schritt ist..
Vielen Dank im Voraus!

Unbenannt
Antwort
tobit

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23:47 Uhr, 02.12.2021

Antworten
Leider schaffe ich es voraussichtlich erst Samstag morgen zu antworten.
Dann habe ich aber, wenn nichts Ungewöhnliches dazwischen kommt, am Wochenende und Montag die Zeit, deutlich zügiger zu reagieren.
S-amalgh

S-amalgh

01:18 Uhr, 03.12.2021

Antworten
Alles klar
Danke im Voraus! :-)
Antwort
tobit

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11:29 Uhr, 04.12.2021

Antworten
So, jetzt die angekündigte Antwort.

Um uns nicht sofort an den Details und Lücken von (i) festzubeißen, schlage ich vor, zunächst (ii) näher anzuschauen (wie es auch zu deinem nun geposteten Screenshot passt).

Bitte gib mir möglichst genaues Feedback, was dir z.B. an meinen Erklärungen klar ist und was nicht, damit ich passend darauf eingehen kann.
(Das ist wichtig, denn mit einem bis auf die Lücken von Hoffmann vollständigen Beweis kommst du ja nicht ohne Weiteres zurecht; daher besteht auch die Gefahr, dass du mit meinen Erklärungen nicht ohne Weiteres zurecht kommst. Wenn du aber rechtzeitig genau nachfragst, bin ich überzeugt, dass du den Beweis verstehen wirst.)

Verstanden habe ich z.B., dass dir irgendetwas an a), b) und c) unklar ist. Aber noch nicht verstanden habe ich, ob dir in irgendeiner Art die Aussagen von a), b) und c) unklar sind (Sind dir z.B. gewisse Zeichen unbekannt? Ist dir klar, dass z.B. mit b) gemeint ist: "Für alle Elemente αα0 gilt die Trichotomieeigenschaft T(α,β0)."?) oder ob dir lediglich die Begründung unklar ist, warum in der vorliegenden Situation die Eigenschaften a), b) und c) gelten.

Die Ordinalzahlen α0 und β0 bezeichnen von Hoffmann (unter der Widerspruchsannahme, der Trichotomiesatz sei falsch) konstruierte Ordinalzahlen mit den Eigenschaften a), b) und c).
Wie diese Ordinalzahlen zustande gekommen sind, ist Gegenstand von Schritt (i), den ich erstmal auslasse. Für Schritt (ii) relevant ist nur, dass wir in ihm annehmen dürfen, Ordinalzahlen α0 und β0 mit den Eigenschaften a), b) und c) zu haben.

Ziel ist nun der Nachweis von T(α0,β0).
(Damit ist dann der gewünschte Widerspruch zu a) gefunden.)

Wir unterscheiden dazu zunächst die Fälle α0=β0 (bei Hoffmann Fall 1.) und α0β0 (bei Hoffmann Fälle 2. und 3.).
In jedem dieser Fälle zeigen wir T(α0,β0).
Da mindestens einer der Fälle vorliegen muss, haben wir dann in jedem Fall wie gewünscht T(α0,β0) gezeigt.

Starten wir mit dem Fall α0=β0 (also Hoffmanns Fall 1.).
Dazu schreibt Hoffmann: "Dann ist T(α0,β0) trivialerweise erfüllt."
Warum ist T(α0,β0) trivialerweise erfüllt?
Dazu müssen wir uns nur die Definition der Trichotomieeigenschaft T(α0,β0) anschauen: T(α0,β0) steht ja für α0β0α0=β0β0α0. Und im Fall 1. haben wir ja α0=β0, also die mittlere der drei mit oder verknüpften Aussagen.
Ist der Fall 1. damit klar?

Für den Fall α0β0 schreibe ich eine separate Antwort.

Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

12:03 Uhr, 04.12.2021

Antworten
Betrachten wir nun den Fall α0β0.
(Ziel ist wie gesagt wieder der Nachweis von T(α0,β0).)

Nach dem Extensionalitätsaxiom können α0 und β0 dann nicht die gleichen Elemente enthalten (würden sie die gleichen Elemente enthalten, wäre doch α0=β0).

Also gibt es eine Menge x, die nur in einer der Mengen α0 und β0 enthalten ist und in der anderen nicht.

Nehmen wir erstmal den Fall xα0 und xβ0 (der andere Fall xβ0 und xα0 wird genauso gehen).


Damit sind wir in Fall 2. von Hoffmann, denn mit x haben wir einen Zeugen für die Existenz einer Menge αα0 mit αβ0.

Hoffmann nennt diese existierende Menge nun entsprechend α statt x.

Wir haben also αα0 und αβ0. (*)

Wegen αα0 können wir nun Eigenschaft b) ins Spiel bringen, die ja sagt, dass für jedes solche Element αα0 die Eigenschaft T(α,β0) gilt.

Was bedeutet T(α,β0) nach Definition von T?
Es bedeutet αβ0α=β0β0α.
Also gilt eine der drei Möglichkeiten
(I) αβ0
(II) α=β0
(III) β0α.

(I) scheidet nach (*) aus.
Also stellt Hoffmann zurecht fest, dass gilt:
(II) α=β0 oder (III) β0α.

Nun behauptet Hoffmann β0α0.
Warum gilt das?
Im Fall (II) haben wir β0=α und αα0 nach (*), also β0α0.
Im Fall (III) haben wir β0α und αα0, also liefert die Transitivität von α0 (was ja als Ordinalzahl transitiv ist) ebenfalls β0α0.

Somit haben wir β0α0 gezeigt.

Also gilt T(α0,β0) nach Definition von T(α0,β0).
(Anleitung: Schreibe dir auf, wie T(α0,β0) definiert ist.)

Damit sind wir auch in Fall 2. an unserem Ziel T(α0,β0) angekommen.


Bleibt noch der andere Fall xβ0 und xα0 zu behandeln.
Der geht aber ziemlich analog zu Fall 2.:
Hier haben wir mit x einen Zeugen für die Existenz von einem ββ0 mit βα0 und sind damit im Fall 3. von Hoffmann.
Dieser Fall funktioniert im Wesentlichen wie Fall 2.

Schaue mal, ob du, wenn du Fall 2. verstanden hast, Fall 3. anhand von Hoffmanns Darstellung verstehen kannst.
S-amalgh

S-amalgh

05:19 Uhr, 05.12.2021

Antworten
Danke für deine tolle Erklärung! :-))
Ich habe eine kleine Frage und zwar Hoffmann hat gesagt dass α0 das kleinste Element in α also α0α
Wie hat er dann gesagt dass αα0 ist wenn α0 kleiner als und in α ist? Das habe ich nicht verstanden
Und was ich nicht verstanden habe ist wieso wollen wir zeigen dass T(α0,β) und T(α,β0)? Was ist der Ziel davon und was wollten wir damit zeigen? Dass das für alle Ordinalzahlen wahr ist oder wie?
Sonst ist alles klar :-)
Danke im Voraus für Ihre Antwort!
Antwort
tobit

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07:20 Uhr, 05.12.2021

Antworten
Danke für deine freundliche Rückmeldung! :-)

Ich bin nicht sicher, ob ich deine Rückfragen richtig verstanden habe.
Falls nein, frage gerne nochmal nach.


"Ich habe eine kleine Frage und zwar Hoffmann hat gesagt dass α0 das kleinste Element in α also α0∈α Wie hat er dann gesagt dass α∈α0 ist wenn α0 kleiner als und in α ist?"

Ich finde bei Hoffmann keine Stelle, an der er von α0α oder "α0 kleiner als und in α" spricht. Welche Stelle meinst du?

Fall 2. ist der Fall, dass ein αα0 existiert mit αβ0.

Möglicherweise verwirrt dich, dass an verschiedenen Stellen α in verschiedenen Bedeutungen verwendet wird (während α0 immer die gleiche fest konstruierte Ordinalzahl bezeichnet).


"Und was ich nicht verstanden habe ist wieso wollen wir zeigen dass T(α0,β) und T(α,β0)? Was ist der Ziel davon und was wollten wir damit zeigen? Dass das für alle Ordinalzahlen wahr ist oder wie?"

Die Feststellung der Gültigkeit der Eigenschaft T(α,β0) ist ein Zwischenschritt innerhalb von 2. Diese Gültigkeit wird dort nur für das in 2. existierende Element αα0 mit αβ0 festgestellt, nicht etwa für alle Ordinalzahlen α.

Die Eigenschaft b) besagt (wie ich im Nebensatz schon einmal erwähnte): Für alle αα0 gilt T(α,β0).
Hier wird also zwar nicht über alle Ordinalzahlen α eine Aussage getroffen, aber immerhin über alle αα0.
Diese Feststellung b) dient dazu, sie später in 2. auf das dort existierende α anzuwenden.
S-amalgh

S-amalgh

11:13 Uhr, 06.12.2021

Antworten
Hoffmann hat geschrieben : "dass es bezüglich ‚∈‘ ein kleinstes α geben muss
(wir nennen es α0)"
das heißt dass α0 kleiner als α oder? wenn ja, wie geht dann dass wir αα0 schreiben ?
Antwort
tobit

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12:03 Uhr, 06.12.2021

Antworten
Die Variable α in "dass es bezüglich ‚∈‘ ein kleinstes α geben muss (wir nennen es α0)" hat erst einmal nichts mit der konkreten Ordinalzahl α aus Fall 2. zu tun.

Es spricht nichts dagegen, dass manche Ordinalzahlen α kleiner als α0 sind (αα0) und andere Ordinalzahlen α größer als α0 sind (α0α).
Erst wenn wir αα0 und α0α für die GLEICHE Ordinalzahl α HÄTTEN, hätten wir einen Widerspruch zum Fundierungsaxiom.


(Hoffmann meint mit einem "bezüglich KLEINSTEN α" eigentlich ein "bezüglich MINIMALES α".
Daher ist gar keine Aussage darüber gemeint, ob α0 kleiner als irgendwelche anderen Ordinalzahlen α ist.
Vielmehr ist α0 dadurch charakterisiert (neben der Eigenschaft "T(α0,β) für mindestens eine Ordinalzahl β falsch"), dass es keine kleinere Ordinalzahlen α gibt, für die ebenfalls T(α,β) für mindestens eine Ordinalzahl β falsch ist.)
S-amalgh

S-amalgh

03:13 Uhr, 07.12.2021

Antworten
Meinst du soll ich im Beweis das Element x statt α nennen und schreiben das zu αo gehört ?
also xα0 statt αα0 oder besser nicht?
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

17:23 Uhr, 07.12.2021

Antworten
Aus meiner Sicht spricht nichts dagegen, gewisse Variablen entsprechend umzubenennen.
S-amalgh

S-amalgh

07:06 Uhr, 10.12.2021

Antworten
Alles klar danke! Ich glaube ich habe keine Fragen mehr dazu :-))

S-amalgh

S-amalgh

07:10 Uhr, 10.12.2021

Antworten
Könntest du mir bitte das erklären und dazu Beispiele geben? Ich habe das irgendwie nicht verstanden..
Das wäre wirklich seehr nett von dir..

Unbenannt
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

08:52 Uhr, 11.12.2021

Antworten
Kannst du näher eingrenzen, was du verstanden hast und was nicht?
Sind dir z.B. einzelne Zeichen unbekannt?
Weißt du, was eine Limesordinalzahl ist?


Ziel im von dir geposteten Bild ist die Definition einer Addition von Ordinalzahlen, also von α+δ für alle Ordinalzahlen α und δ.

Der/die Autor(in) hat sich entschieden, diese Definition per transfiniter Rekursion nach δ durchzuführen, also für die drei Fälle δ=0, δ Nachfolgerordinalzahl und δ Limesordinalzahl separat zu definieren, wobei grob gesagt jeweils angenommen werden darf, dass die Addition α+δʹ für kleinere Ordinalzahlen δʹ<δ bereits definiert sei.

(Rechtfertigen lässt sich dieses Vorgehen namens transfiniter Rekursion mithilfe eines sogenannten Rekursionssatzes für Ordinalzahlen.
Diesen Satz habe ich bei Hoffmann leider nicht gefunden.)


Im Fall δ=0 wird α+δ:=α definiert.
Dies sollte nicht weiter überraschen: Wenn man zu irgendeiner Ordinalzahl α die Ordinalzahl 0 addiert, sollte α selbst herauskommen, wie wir es z.B. für natürliche oder reelle Zahlen kennen.

Im Fall δ Nachfolgerordinalzahl (etwa δ=s(β)), wird α+δ:=s(α+β) definiert. (Hier wird sozusagen benutzt, dass α+β bereits als definiert angenommen werden kann.)
Auch dies entspricht dem bekannten Addieren z.B. von natürlichen Zahlen: Wenn wir den Nachfolger einer Zahl β zu α addieren, erhalten wir den Nachfolger der Summe von α und β.

Im Fall δ Limesordinalzahl definieren wir α+δ:=β<δ(α+β).
Auch hier wird genutzt, dass α+β für Ordinalzahlen β<δ bereits als festgelegt angenommen werden darf.
Es geht Satz 3.5 Teil 2. von Hoffmann ein, der uns garantiert, dass β<δ(α+β) tatsächlich eine Ordinalzahl ist.
Dieser Limesordinalzahl-Fall hat KEINE Entsprechung bei den natürlichen Zahlen, sondern ist charakteristisch für Ordinalzahlen.


Schauen wir uns ein kleines Beispiel an, nämlich 3+2 (unter Verwendung von 0:=, 1:=s(0), 2:=s(1), 3:=s(2), 4:=s(3), 5:=s(4)). Es gilt:

3+2=3+s(1)=s(3+1)=s(3+s(0))=s(s(3+0))=s(s(3))=s(4)=5.

Mache dir bitte bei jedem Gleichheitszeichen in dieser Gleichungskette klar, warum es gilt!
Wenn du bei manchen der Gleichheitszeichen nicht weiter kommst, frage bitte konkret nach den betreffenden Gleichheitszeichen.


Das Beispiel aus deinem Bild mit ω+ω ist eine direkte Anwendung der Definition der Addition unter Berücksichtigung der Tatsache, dass ω eine Limesordinalzahl ist und nur eine andere Schreibweise für ω ist.
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.