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Trigonalisierbarkeit/Diagonalisierbarkeit
Universität / Fachhochschule
Tags: Diagonalisierbarkeit, geometrische Multiplizität, Trigonalisierbarkeit
 
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Guten Tag, ich versuche gerade die Unterschiede zwischen Trigonalisierbarkeit und Diagonalisierbarkeit zu klären, ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.. Also ich habe folgende Sätze: (i) in End(V) diagonalisierbar, es existieren sodass . zerfällt in Linearfaktoren (ii) und diagonalisierbar (iii) diagonalisierbar geometrische und algebraische Multiplizität gleich Aber aus den ersten beiden Sätzen folgt doch, dass wenn diagonalisierbar ist die geometrische Multiplizität 1 sein muss oder? Das würde aber bedeuten dass der dritte Satz einfach nur bedeutet, dass geometrische und algebraische Vielfachheit gleich 1 sein muss damit diagonalisierbar ist. Aber das gleiche besagen ja dann eigentlich schon Satz 1 und Satz 2. Kann mich jemand vielleicht aufklären? Ein weiterer Satz lautet: (iv) trigonalisierbar zerfällt in Linearfaktoren Das bedeutet der Unterschied zweischen Trigonalisierbar und Diagonalisierbar ist, dass wenn diagonalisierbar ist in Linearfaktoren zerfällt und alle Linearfaktoren verschieden sein müssen und dass wenn trigonalisierbar ist in Linearfaktoren zerfällt aber die Linearfaktoren gleich sein dürfen. Hab ich das soweit richtig verstanden? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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"Aber aus den ersten beiden Sätzen folgt doch, dass wenn f diagonalisierbar ist die geometrische Multiplizität 1 sein muss oder?" Nein. sind nicht unbedingt alle verschieden. Betrachte die Einheitsmatrix. Sie ist offensichtlich diagonalisierbar, aber ihr einziger Eigenwert hat die geometrische (und auch algebraische) Vielfachheit . |
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Das heißt wenn in Linearfaktoren zerfällt und alle Eigenwerte verschieden sind ist diagonalisierbar. Wenn in linearfaktoren zerfällt, nicht alle eigenwerte verschieden sind aber die geometrische und algebraische Multiplizität für alle eigenwerte gelcih ist ist auh diagonalisierbar. Der erste Satz bedeutet dann ja einfach nur, dass wenn diagonalisierbar ist in Linearfaktoren zerfällt die Eigenwerte aber gleich sein können. Also ist der Unterschied zweischen Diagonalisierbar und Trigonaliesierbar einfach nur, dass falls in Linearfaktoren zerfällt trigonalisierbar ist aber damit auch diagonalisierbar ist zusätzlich geometrische und algebraische Vielfachheit gleich ist. Das heißt in beiden Fällen müssen nicht alle Linearfaktoren verschieden sein. Habe ich das jetzt richtig verstanden? |
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Kurz gesagt: diagonalisierbar triagonalisierbar zerfällt in lineare Faktoren zerfällt in lineare Faktoren triagonalisierbar diagonalisierbar Für Diagonalisierbarkeit ist notwendig, dass alle geometrische Vielfachheiten von Eigenwerten mit ihren algebraischen Vielfachheiten übereinstimmen |
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Ja, hast Du richtig verstanden. |
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Alles, klar damit zerfällt in Linearfaktoren diagonalisierbar gilt, reicht nach dem zweiten Satz aber auch aus, dass alle Eigenwerte verschieden sind oder? |
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Ja, reicht. |
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Vielen Dank :-) |
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