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Trigonalisierung einer Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

matheass14 aktiv_icon

14:09 Uhr, 21.04.2015

Hallo,

hab eine Frage zur Trigonalisierung von Matrizen.

Ich habe die Matrix

A = (\begin{array}{rcl} 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 - 3 \\ - 1 & - 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \end{array})

gegeben und muss sie trigonalisieren, d.h. ich muss eine Matrix

X \in G L

(4,

ℝ

) angeben, sodass

X^{- 1} A X

eine obere Dreiecksmatrix ist.

Bei Wikipedia ( de.wikipedia.org/wiki/Trigonalisierung gibt es ein gutes Verfahren zur Trigonalisierung, jedoch komme ich nicht auf die Form, die ich nach dem ersten Schritt erhalten sollte.

Ein Eigenwert von A ist

λ_{1} = 1

und ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert ist

v_{1} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Wenn ich diesen Eigenvektor zu einer Basis des

ℝ^{4}

ergänze, dann erhalte ich die Basis

B = (e_{1}, v_{1}, e_{3}, e_{4})

Die Basiswechselmatrix von der kanonischen Basis zu B ist

T_{1} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array})

.

Wenn ich jedoch wie im Artikel

T^{- 1} A T

rechne, dann komme ich nicht auf diese Form.

Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:12 Uhr, 22.04.2015

Basiswechselmatrix sieht falsch aus.

matheass14 aktiv_icon

17:18 Uhr, 22.04.2015

Warum? Bei dem Basiswechsel muss ich doch die alten Basisvektoren durch die neuen darstellen.

ledum aktiv_icon

20:29 Uhr, 22.04.2015

Hallo
dein Eigenvektor muss zu

e 1

werden,

d, j

von

v 1, e 1, - -

nach

e 1, e 2

usw.
Gruß ledum

matheass14 aktiv_icon

10:58 Uhr, 23.04.2015

Die Basiswechselmatrix ist doch die Matrix vom Basiswechsel von der Einheitsbasis und nicht andersrum. Ich weiß außerdem nicht, was du mit "d,j" meinst.

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11:07 Uhr, 23.04.2015

Da hast Du Recht, aber Du musst, wie ledum sagte, den neuen Vektor an die erste Stelle setzen.

(e_{1}, v_{1}, e_{3}, e_{4})

bringt nicht die gewünschte Form, Du brauchst

(v_{1}, e_{1}, e_{3}, e_{4})

matheass14 aktiv_icon

11:14 Uhr, 23.04.2015

Dann ist doch die Basiswechselmatrix

(\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \end{array})

, oder?

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11:23 Uhr, 23.04.2015

Sieht richtig aus.

Solche Aufgaben sind übrigens besser mit irgendeinem Programm oder Online-Tool zu machen und nicht "zu Fuss", das ist doch nur stumpfsinnige Rechnerei. :(

matheass14 aktiv_icon

11:31 Uhr, 23.04.2015

Das stimmt leider trotzdem nicht, denn

{T_{1}}^{- 1} A T_{1}

hat nicht die gewünschte Form.

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11:54 Uhr, 23.04.2015

Die Basiswechselmatrix ist doch falsch.

Richtig ist

T_{1} = (\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array})

Mir ihr klappt alles.

Sorry, musste selber nachschauen, wie man die Basiswechselmatrix schreibt, da verwechsle ich immer was.

matheass14 aktiv_icon

13:19 Uhr, 23.04.2015

Da werden die neuen Basisvektoren als eine Linearkombination der alten dargestellt, richtig?

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13:23 Uhr, 23.04.2015

Ja, die Spalten sind die linearen Kombinationen für neue, in alten ausgedrückt.

matheass14 aktiv_icon

13:40 Uhr, 23.04.2015

Das hat mich schon immer verwirrt: Bei wiki steht nämlich: "Man erhält sie, indem man die Vektoren der alten Basis B als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis B{}' darstellt" de.wikipedia.org/wiki/Basiswechselmatrix

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13:45 Uhr, 23.04.2015

Ja, verwirrend ist es, überhaupt ist das Thema Basiswechsel nicht besonders transparent und intuitiv, ich muss immer noch zuerst richtig überlegen, bis ich weiß, wie es geht. Aber vielleicht muss man für lineare Algebra eine besondere Begabung haben.

matheass14 aktiv_icon

18:58 Uhr, 23.04.2015

Ich habe noch eine Frage:

Ich habe jetzt alle Schritte durchgeführt. Bei wiki steht:

Die Matrix P ergibt sich als Produkt

T_{1} * T_{2} \dots T_{n - 1}

der Basiswechselmatrizen. Wie kann ich die multiplizieren? Die haben doch nicht die gleiche Spaltenanzahl.

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19:03 Uhr, 23.04.2015

Doch, sie haben die gleiche Spaltenzahl.

matheass14 aktiv_icon

19:07 Uhr, 23.04.2015

Wenn ich das Verfahren durchführe, dann erhalte ich im zweiten Schritt doch eine

3 \times 3

-Matrix. Wenn ich wieder einen Eigenvektor berechne und diesen zu einer Basis des

ℝ^{3, 3}

vervollständige und die Basiswechselmatrix berechne, dann erhalte ich doch eine

3 \times 3

-Matrix, oder nicht?

Oder muss ich da den Eigenvektor von

{T_{1}}^{- 1} A T_{1}

berechnen?

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19:42 Uhr, 23.04.2015

Du musst den Eigenvektor von einer kleineren Matrix berechnen, aber die Basiswechselmatrix bleibt gleich groß, nur dass ein Teil der Basis sich nicht mehr ändert.
Sorry, das kann ich nicht gut erklären.

matheass14 aktiv_icon

20:18 Uhr, 23.04.2015

Kannst du mir das bitte am Beispiel der 3x3-Matrix erklären?

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20:52 Uhr, 23.04.2015

Oh je, das wird viel zu tippen sein. :-)

Z.B.

A = (\begin{array}{rcl} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array})

hat

1

als Eigenwert mit dem Eigenvektor

v_{1} = (1, - 1, 0)

.
Neue Basis wird

(v_{1}, e_{2}, e_{3})

.
Die Basiswechselmatrix wird

T_{1} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

, ihre Inverse ist

T_{1}^{- 1} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

.
Dann

T_{1}^{- 1} A T_{1} = (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array})

.

Im zweiten Schritt betrachten wir die Matrix

A_{1} = (\begin{array}{rcl} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{array})

. Sie hat einen Eigenwert

2

und denselben Eigenwert muss natürlich auch

A

haben. Suchen einen Eigenvektor von

A

zu diesem Eigenwert. Ein Eigenvektor ist

e_{3} = (0, 0, 1)

. Neu Basis wird also

(v_{1}, e_{3}, e_{2})

, denn wir dürfen

v_{1}

nicht mehr berühren und der neue Eigenvektor kommt auf die zweite Position.
Die Basiswechselmatrix ist jetzt

T_{2} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

und

T_{2}^{- 1} = T_{2}

.
Dann

T_{2}^{- 1} A T_{2} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

.

Ich bin nicht ganz sicher, dass in Wiki genau dasselbe gemeint ist, aber so funktioniert das auf jeden Fall.

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20:53 Uhr, 23.04.2015

Die letzte Zeile muss natürlich

T_{2}^{- 1} T_{1}^{- 1} A T_{1} T_{2}

heißen.

matheass14 aktiv_icon

21:27 Uhr, 23.04.2015

Bei meiner Matrix habe ich ja zum Eigenwert 1 zwei gleiche Eigenvektoren, nämlich

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

. Dann hätte ich doch zwei gleiche Vektoren in der Basis und das würde doch nicht gehen, oder?

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21:43 Uhr, 23.04.2015

Zwei gleiche Eigenvektoren? :-O
Wie meinst Du das? Es kann keine gleiche Eigenvektoren geben, wenn zwei gleich sind, dann ist es ein Eigenvektor und nicht zwei. :-)

matheass14 aktiv_icon

21:45 Uhr, 23.04.2015

Ich meine, dass der Eigenwert 1 doppelt ist. Wenn ich jetzt bei der kleineren Matrix feststelle, dass sie den Eigenwert 1 hat, dann muss ich ja denselben Vektor eintragen.

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21:53 Uhr, 23.04.2015

Aha, guter Einwand. Dann muss man wohl den "kleinerdimensionalen" Vektor nehmen. Nur weiß ich dann nicht, wie man die Basiswechselmatrix zusammenbastelt.
Eigentlich ist es Theorie, das muss irgendwo beschrieben werden, daher ist es schon blöd, dass wir Fahrrad erfinden. Ich bin auf jeden Fall mit meinem Latein vorerst am Ende. Vielleicht kommt mir morgen eine neue Idee.

matheass14 aktiv_icon

21:56 Uhr, 23.04.2015

Du hast mir auf jeden Fall sehr geholfen es zu verstehen. Danke.

matheass14 aktiv_icon

21:56 Uhr, 23.04.2015

Du hast mir auf jeden Fall sehr geholfen es zu verstehen. Danke.

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21:58 Uhr, 23.04.2015

Kuck hier im Thread, ganz unten:
http//www.chemieonline.de/forum/showthread.php?t=159903

Das ist, was ich mit dem "kleinerdimensionalen" Vektor meinte.
Es scheint zu funktionieren.

DrBoogie aktiv_icon

22:01 Uhr, 23.04.2015

Und auch hier:
http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_lineare_algebra/24_trigonalisierung.pdf, Seite 2

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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