Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Trigonom.Gleichung

Trigonom.Gleichung

Schüler

Tags: alle Lösungen, Satz Nullprodukt

beardy aktiv_icon

10:33 Uhr, 30.03.2021

Ich habe die Gleichung

{(sin (x))}^{2} =

2sin(x) und soll die Lösungen im Bereich

[- 2; 8]

angeben. Mit dem Satz

v

. Nullprodukt erhalte ich

sin (x) = 2

und sin(x)=0.Wie komme ich weiter zu Lösungen im angegebenen Bereich? Mit der Umkehrfunktion:

x = {sin}^{- 1} (0)

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

10:47 Uhr, 30.03.2021

\sin (x) = 0

hat als Lösung die Menge

{π n : n \in ℤ}

. Im Intervall

[- 2, 8]

liegen nur die Werte

0, π

und

2 π

daraus.

\sin (x) = 2

hat keine Lösungen, denn

\sin (x) \leq 1

immer.

UPDATE. Korrigiert.

N8eule

11:28 Uhr, 30.03.2021

Wenn du mit 'Umkehrfunktion' die arcsin-Funktion meinst, dann prinzipiell ja.
Aber - natürlich nicht nur in den Taschenrechner eintippen, sondern schon auch mitdenken und den Funktionsverlauf berücksichtigen.
Dazu wird dir helfen, eine Skizze vom Einheitskreis anzufertigen und vor Augen zu führen.
An welchen Stellen (unter welchen Winkeln) wird denn der sin-Funktionswert im Einheitskreis gleich Null?

supporter aktiv_icon

12:18 Uhr, 30.03.2021

{sin}^{2} x - 2 sin x = 0

sin x (sin x - 2)

sin x = 0

x = 0 \lor x = π \lor x = 2 \cdot π

sin x = 2

keine Lösung, das der sin zwischen

- 1

und 1 pendelt.

HAL9000

15:57 Uhr, 30.03.2021

Ich stelle immer wieder fest, dass die meisten Schüler (und auch viele Studenten) massive Probleme haben, die trigonometrischen Funktionen in Gänze korrekt "umzukehren", d.h., beispielsweise alle reellen Lösungen

x

einer Gleichung

\sin (x) = c

für gegebenes

c \in [- 1, 1]

(*)

anzugeben. Anscheinend wird zwar im Schulunterricht über Periodizität und Symmetrie der Sinusfunktion gesprochen, aber oft nicht ausreichend erläutert, wie das bei der Lösung von (*) in die Rechnung eingeht:

x_{1} = \arcsin (c)

liefert nur die eine Lösung im Intervall

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

x_{2} = π - \arcsin (c)

liefert eine weitere Lösung im Intervall

[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]

.

Alle weiteren reellen Lösungen entstehen gemäß Periodizität durch Hinzuaddieren ganzzahliger Vielfache von

2 π

zu den Lösungen

x_{1}

bzw.

x_{2}

. Anzumerken wäre noch, dass diese beiden Lösungsscharen

x_{1} + 2 π k

sowie

x_{2} + 2 π k

in den Randfällen

c \in {1, - 1}

zusammenfallen, d.h., eigentlich nur eine Schar sind.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1532702

1532684

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?