Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Trigonometrie mit Variablen, reaschule klasse 10

Trigonometrie mit Variablen, reaschule klasse 10

Schüler Realschule, 10. Klassenstufe

Tags: klasse 10, Realschule, Trigonometrie, Variabeln

cx0rr aktiv_icon

23:47 Uhr, 27.02.2013

Hallo, ich schreib am Freitag eine Mathe Arbeit und kann eigentlich alle Themen bis auf Trigonometrie mit Parabeln.
Sinus Cosinus, etc sind keine Probleme kenn ich alles ich weiß auch das man bei Trigonometrie mit Variablen anstatt cosinus etc druch werte in der angehängten wertetabelle ersetzt.

Aber mein Problem ist ich weiß nicht dann nicht mehr weiter wenn ich die Werte eingesetzt hab.

Z . b

. Weiß ich nicht wann man die Brüche mit Wurzeln erweitern muss oder wenn man den Phythagoras rechnet und unter der Wurzel

^2

ist usw...

Im Großen und ganzen blick ich

z . B

. diese zwei Beispielaufgaben auf den Bildern überhaupt nicht, ich komm noch zum einsetzten der Werte aus der Tabelle in den Sinus,cosinus,tan... Aber das anschließende rechnen (erweitern, addieren, subtrahieren) von Wurzeln mit variablen und wann ich was machen muss versteh ich überhaupt nicht mehr.

Könnte vielleicht jmd etwas ein bisschen erklären? Allgemein.
Oder eine dieser Aufgaben mit Erklärung vorrechnen.
Wie gesagt, ist leider ein bisschen kurzfristig, aber ich schreibe die Arbeit schon am Freitag und würde mich über Hilfe sehr freuen!
Danke im voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

prodomo aktiv_icon

07:12 Uhr, 28.02.2013

Zu der Aufgabe auf dem dritten Bild (die andere ist leider nur schlecht zu erkennen):
es sei

h

der Abstand von

E

zur Seite AD und

G

der zu

E

gegenüberliegende Punkt. Dann ist |DG|

= h

wegen des

45

Grad - Winkels und |GA|

= \frac{h}{tan 60},

da der übrige Winkel

30

Grad beträgt. Nach dem Strahlensatz gilt

h = e,

weil

E

in der Mitte liegen soll. Der Flächeninhalt ist wie immer Grundseite mal Höhe durch 2. Hier also

(e + \frac{e}{tan 60}) \cdot \frac{e}{2}

tan 60

ist

\sqrt{3},

daher

A = \frac{e^{2}}{2} \cdot (1 + \frac{1}{\sqrt{3}})

. Das ist eigentlich viel einfacher als die gegebene Formel. In der soll aber

\frac{e^{2}}{6}

als erster Faktor stehen. Das Ergebnis ist also mit 3 zu erweitern, das gibt

e^{2} \cdot \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{3}{3} = \frac{e^{2}}{6} \cdot (3 + \sqrt{3})

wie gegeben.

cx0rr aktiv_icon

09:05 Uhr, 28.02.2013

schonmal danke für das vorrechnen, aber wenn ich ehrlich bin hat mir das nicht sehr viel weiter geholfen:/
wie ich schon beschrieben hab kann ich die werte der tabelle durch cosinus usw ersetzten, aber zb. brüche in brüchen kürzen, wäre cool wenn du die aufgabe etwas genauer erklären könntest. Und btw, unserer Lehrer hat Strahlensätze mit uns nicht gemacht, deshalb blick ich die garnicht.

Die andere Aufgabe ist:
Gegeben ist das Dreieck ABC. Zeigen Sie ohne Verwendung gerundeter Werte, dass sich der Umfang des Teildreiecks ABD mit folgender Formel berechnen lässt: (Formel lässt sich auf dem Bild erkennen, denk ich)

DK2ZA aktiv_icon

09:52 Uhr, 28.02.2013

Bei beiden Aufgaben kann man ganz ohne Winkelfunktionen auskommen.

Man muss nur wissen, dass in einem Quadrat der Seitenlänge a die Diagonale die Länge

a \cdot \sqrt{2}

besitzt und dass in einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge a die Höhe die Länge

\frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}

hat.

GRUSS, DK2ZA

Werner-Salomon aktiv_icon

09:53 Uhr, 28.02.2013

Der in der Aufgabe b) im mittleren Bild angegebene Umfang ist falsch!
Korrekt wäre

u = e (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})

.. für mehr habe ich i.A. keine Zeit.

Gruß
Werner

BeeGee aktiv_icon

09:55 Uhr, 28.02.2013

@Werner-Salomon: da hast Du Dich irgendwo verrechnet. Der Umfang ist korrekt angegeben mit

U = e \cdot (2 + \sqrt{2} + \sqrt{6})!

BeeGee aktiv_icon

10:20 Uhr, 28.02.2013

Ich versuche die

b)

mal nachvollziehbar zu erklären:

Wie DK2ZA schon richtig bemerkt hat, lohnt es sich bei diesen Aufgaben immer, Quadrat-Teile oder gleichseitige Dreiecke zu suchen. Die sind meist irgendwo versteckt. So auch hier:

Das Dreieck DBC ist ein halbes Quadrat (rechtwinkliges Dreieck mit Basiswinkel 45°). Damit ist DB die Diagonale, die das

\sqrt{2}

-fache der Kantenlänge ist:

\bar{B C} = \frac{\bar{D B}}{\sqrt{2}} = \frac{2 e}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot e

Damit haben wir eine Länge und einen Winkel im rechtwinkligen Dreieck ABC:

sin 30°

= \frac{\bar{B C}}{\bar{A B}} \to \bar{A B} = \frac{\sqrt{2} \cdot e}{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{2} \cdot e

Und damit (entweder über Winkelfunktionen oder über Pythagoras):

tan 30°

= \frac{\bar{B C}}{\bar{A C}} \to \bar{A C} = \frac{\sqrt{2} \cdot e}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot e = \sqrt{6} \cdot e

Da DBC ein halbes Quadrat ist

(s

o .),

ist

\bar{D C} = \bar{B C} = \sqrt{2} \cdot e

\bar{A D} = \sqrt{6} \cdot e - \sqrt{2} \cdot e

Damit kann der Umfang angegeben werden:

U = 2 \sqrt{2} \cdot e + 2 e + (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot e = e \cdot (2 + \sqrt{2} + \sqrt{6})

quod erat demonstrandum :-)

Werner-Salomon aktiv_icon

10:29 Uhr, 28.02.2013

BeeGee - das ist korrekt.
Ich meinte den Umfang des Dreiecks ABC - das Bild ist leider etwas unscharf, da habe ich überlesen, dass der Umfang von ABD gesucht wird.

cx0rr aktiv_icon

11:31 Uhr, 28.02.2013

nochmal vielen danke für eure hilfe und es hat mir bisher auch schon etwas gebracht, aber ich glaub ich hab mich ein bisschen blöd ausgedruckt:-D)

Ich versteh schon wie ihr auf diese Formeln kommt (Bild 1 und 2 im Anhang)
Mein Problem ist aber hauptsächlich das ich nicht versteh wie man dann das in Bild 3 und 4 im Anhang rechnet. Also wie man kürzt oder bzw einfach wie man cosinus sinus und tanges mit variablen

+

brüchen in brüchen

+

wurzel noch rechnet.

Tut mir leid wenn ich mich etwas falsch ausgedrückt habe:-)

BeeGee aktiv_icon

11:46 Uhr, 28.02.2013

Da hilft nur:

1)

Rechenregeln zusammenschreiben

2)

Beispiele zu den Regeln finden und rechnen

3)

Regeln (hoffentlich) kapieren :-)

4)

Routine sammeln, also üben, üben, üben

Den letzten Term, den Du von meiner Lösung übernommen hast, schreibe ich etwas ausführlicher hin:

\frac{\sqrt{2} e}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{2} e}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{2} e}{\frac{1}{\sqrt{3}}}

Durch einen Bruch dividiert man, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:

. .

= \sqrt{2} e \cdot (\frac{\sqrt{3}}{1}) = \sqrt{2} \cdot e \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} \cdot e

Dazu kann man nicht so furchtbar viel erklären. Es geht hier um die grundsätzliche Anwendung von Rechenregeln, von denen Du in Klasse

10

und früher bestimmt schon einiges gehört hast.

cx0rr aktiv_icon

12:25 Uhr, 28.02.2013

okey, danke für den tipp, werd ich machen :-)
ist halt nur bisschen kanpp weil ich morgen die arbeit schreib:-D)

was ich nicht versteh

z . b

. im zweiten teil (bild im anhang) warum rechnest du ganz unten wurzel

3 x

wurzel 3?

edit: hast du dadurch den nenner des unteren burchs rational machen wollen?
und wo kommt das 1/wurzel 3 im letzten teil unter dem bruchstrich her?

\frac{:}{}

BeeGee aktiv_icon

12:32 Uhr, 28.02.2013

Um den Bruch im Nenner etwas zu vereinfachen: zunächst mache ich aus der 3 ein Produkt, nämlich

\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}

. Anschließend kann ich die

\sqrt{3}

in Zähler und Nenner einmal wegkürzen - so bleibt

\frac{1}{\sqrt{3}}

übrig.

DK2ZA aktiv_icon

14:08 Uhr, 28.02.2013

Aufgabe

b)

A B F

ist (wegen der Winkel) ein halbes gleichseitiges Dreieck, deshalb ist

B F = \frac{2 e}{\sqrt{3}}

und

A F = \frac{4 e}{\sqrt{3}}

.

Es folgt:

A E = \frac{A F}{2} = \frac{2 e}{\sqrt{3}}

Nun ziehen wir eine zu

A B

parallele Hilfsgerade durch

E,

welche

A D

im Punkt

G

schneidet.

A E G

ist (wegen der Winkel) ein halbes gleichseitiges Dreieck, weshalb

A G

halb so lang ist wie

A E,

nämlich

\frac{e}{\sqrt{3}}

und

G E = (\frac{A E}{2}) \cdot \sqrt{3} = \frac{\frac{2 e}{\sqrt{3}}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{2 e}{2 \sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = e

Das Dreieck

G E D

ist (wegen der Winkel) ein halbes Quadrat, folglich ist

G D = e

.

Im Dreieck

A E D

ist

A D

die Grundlinie, wobei

A D = A G + G D = \frac{e}{\sqrt{3}} + e

und

G E = e

ist die Höhe.

Damit ist der Flächeninhalt von

A E D :

A = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot G E =

= \frac{1}{2} \cdot (\frac{e}{\sqrt{3}} + e) \cdot e =

= \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}} + 1) \cdot e^{2} =

= (\frac{1}{2 \sqrt{3}} + \frac{1}{2}) \cdot e^{2} =

= 6 \cdot (\frac{1}{2 \sqrt{3}} + \frac{1}{2}) \cdot \frac{e^{2}}{6} =

= (\frac{6}{2 \sqrt{3}} + \frac{6}{2}) \cdot \frac{e^{2}}{6} =

= (\frac{3}{\sqrt{3}} + 3) \cdot \frac{e^{2}}{6} =

= (\sqrt{3} + 3) \cdot \frac{e^{2}}{6} =

= \frac{e^{2}}{6} \cdot (3 + \sqrt{3})

GRUSS, DK2ZA

cx0rr aktiv_icon

16:05 Uhr, 28.02.2013

ich verzweifel gleich

: (

ich versuchs schon die ganze zeit aber ich blicks einfach nicht:(
wie bist du eigentlich auf wurzel 3 geteilt durch 3 gekommen (bild im anhang)
in meiner tabelle ist für

tan 30 \frac{1}{3}

wurzel 3 und nicht wurzel

\frac{3}{}

wurzel 3 angegeben...?

DK2ZA aktiv_icon

16:17 Uhr, 28.02.2013

Es ist

tan (30) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}

denn:

Ein Bruch wird mit einer Zahl (hier:

\sqrt{3})

multipliziert, indem man seinen Zähler mit der Zahl multipliziert.

cx0rr aktiv_icon

17:54 Uhr, 28.02.2013

Mhh, okey danke :-) konnte vllz jemand nochmal die Aufgabe

b

rechnen die promodo schon gerechnet hat und sie vielleicht etwas genau erklären, danke im voraus:-)

DK2ZA aktiv_icon

18:31 Uhr, 28.02.2013

Aufgabe

b)

steht weiter oben.

cx0rr aktiv_icon

19:32 Uhr, 28.02.2013

Ahh wie könnt ich's übersehen:-) ich fand bisher die erste Version am besten (Bild im Anhang) aber konnte mir vllz jmd diese Version noch etwas genaunerleutern bei den Formel, bzw ab der flächenformel versteh ich es nIcHt mehr ganz

\frac{:}{}

einfach etwas genau

\frac{:}{}

anonymous

16:56 Uhr, 01.03.2013

Ich habe den Weg, den prodomo beschrieben hat, nochmal etwas ausführlicher aufgeschrieben.

G

soll der Lotfußpunkt von

E

auf der Strecke

[A D]

sein, also soll

[G E]

senkrecht auf

[A D]

stehen. Daher betragen die Winkel bei

G

auch

90^{\circ}

.

Wegen der Innenwinkelsumme von

180^{\circ}

im Dreieck

Δ G E D

weiß man, dass der Winkel bei

E

auch

45^{\circ}

beträgt.

45^{\circ} + 90^{\circ} + ∠ D E G = 180^{\circ}

Man weiß also, dass

Δ G E D

ein gleichschenkeliges, rechtwinkeliges Dreieck ist. Daher muss die Länge

\bar{G D} = h

gleich der Länge

\bar{G E}

sein.
Also:

\bar{G D} = h = \bar{G E}

Da die Winkel bei A zusammen

90^{\circ}

ergeben sollen, schließlich soll

□ A B C D

ein Rechteck sein, wissen wir, dass der Winkel

∠ E A G

bei A den Wert

60^{\circ}

haben muss.

30^{\circ} + ∠ E A G = 90^{\circ}

Wendet man nun im rechtwinkeligen Dreieck

Δ A E G

den Tangens an, so erhält man:

tan (60^{\circ}) = \frac{\bar{G E}}{\bar{G A}}

Also:

\bar{G A} = \frac{\bar{G E}}{tan (60^{\circ})}

Wegen

\bar{G E} = h

und

tan (60^{\circ}) = \sqrt{3}

erhält man also:

\bar{G A} = \frac{h}{\sqrt{3}}

H

soll der Lotfußpunkt von

E

auf der Strecke

[A B]

sein. Daher kommt der Winkel von

90^{\circ}

bei H.

Da

[H E]

und

[B F]

jeweils senkrecht auf

[A B]

stehen sollen, muss

[H E]

parallel zu

[B F]

verlaufen.
Nach dem Strahlensatz muss daher gelten:

\frac{\bar{A E}}{\bar{A F}} = \frac{\bar{A H}}{\bar{A B}}

E

die Strecke

[A F]

halbieren soll, muss aber auch

\frac{\bar{A E}}{\bar{A F}} = \frac{1}{2}

gelten. Außerdem soll

\bar{A B} = 2 e

sein. Also:

\frac{1}{2} = \frac{\bar{A H}}{\bar{2 e}}

Also:

\bar{A H} = e

H

und

G

so konstruiert wurden, dass

□ A H E G

ein Rechteck ist, muss demnach

\bar{A H} = \bar{G E}

also

e = h

gelten.

Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist:

A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_{g}

In diesem Fall setzt sich die Grundlinie

[A D]

zusammen aus

[G D]

und

[G A]

. Also:

g = \bar{A D} = \bar{G D} + \bar{G A} = h + \frac{h}{\sqrt{3}} = e + \frac{e}{\sqrt{3}} = e \cdot (1 + \frac{1}{\sqrt{3}})

.

Die Dreieckshöhe entpricht

h

. Also:

h_{g} = h = e

Demnach ergibt sich für den Flächeninhalt des Dreiecks

Δ A E D :

A_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot (1 + \frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot e = \frac{e^{2}}{2} \cdot (1 + \frac{1}{\sqrt{3}})

Um auf die vorgegebene Form zu kommen, wird mit 3 erweitert:

A_{Δ} = \frac{e^{2}}{2} \cdot \frac{3}{3} \cdot (1 + \frac{1}{\sqrt{3}})

A_{Δ} = \frac{e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (1 + \frac{1}{\sqrt{3}})

A_{Δ} = \frac{e^{2}}{6} \cdot 3 \cdot (1 + \frac{1}{\sqrt{3}})

A_{Δ} = \frac{e^{2}}{6} \cdot (3 + \frac{3}{\sqrt{3}})

A_{Δ} = \frac{e^{2}}{6} \cdot (3 + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}})

A_{Δ} = \frac{e^{2}}{6} \cdot (3 + \sqrt{3})

cx0rr aktiv_icon

19:28 Uhr, 03.03.2013

die arbeit ist geschrieben und sie war...naja ganz okey, müsste richtung 2 gehen :-)
hatte zwar trozdem noch etwas probleme beim variablen teil, aber ihr habt mir trozdem gut geholfen :-) danke:-)

cx0rr aktiv_icon

19:28 Uhr, 03.03.2013

die arbeit ist geschrieben und sie war...naja ganz okey, müsste richtung 2 gehen :-)
hatte zwar trozdem noch etwas probleme beim variablen teil, aber ihr habt mir trozdem gut geholfen :-) danke:-)

1078623

1077515

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?