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Trigonometrische Gleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Trigonometrische Gleichung

sofiaknowsmathe aktiv_icon

21:35 Uhr, 17.01.2022

Hallo, geben ist:

{(cos (x))}^{2} - cos (2 x) = \frac{3}{4}

Ich soll unter der Verwendung des Additionstheorems:

cos (α + β) = cos (α) \cdot cos (β) - sin (a) \cdot sin (β)

den Ausdruck

cos (2 x)

als Produkt von Termen in

sin (x)

und

cos (x)

darstellen.
Leider habe ich keine Ahnung wie ich das anstellen soll, bitte um Hilfe
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

sofiaknowsmathe aktiv_icon

21:36 Uhr, 17.01.2022

Die Lösung sollte sein:

cos (2 x) = {(cos (x))}^{2} - {(sin (x))}^{2}

pleindespoir aktiv_icon

22:15 Uhr, 17.01.2022

\cos (2 \cdot x) = \cos (x + x)

\cos (a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b

nun einsetzen : für a = x und für b = x

rundblick aktiv_icon

22:51 Uhr, 17.01.2022

.

@ sofiaknowsmathe :

nachdem pleindespoir dir nun deine Ahnungslosigkeit wohl erfolgreich genommen hat,
wirst du nun gewiss die eigentlich gestellte Aufgabe :

" für welche

x

ist die Gleichung

{(cos (x))}^{2} - cos (2 x) = \frac{3}{4}

erfüllt "
erfolgreich bewältigen und uns bitte die Lösung hier noch notieren :

\to . .

.

.

sofiaknowsmathe aktiv_icon

01:37 Uhr, 18.01.2022

hab ein bisschen gebraucht aber ich habs geschafft. Man zieht das

{(cos (x))}^{2}

vom Theorem einfach auf die andere Seite und rechnet dann die Wurzel aus

\frac{3}{4}

.
Danke an beide!

Respon

01:52 Uhr, 18.01.2022

"Hallo, gegeben ist:

{cos}^{2} (x) - cos (2 \cdot x) = \frac{3}{4}

"
Da erwartet man als Lösung

: x = . .

sofiaknowsmathe aktiv_icon

01:56 Uhr, 18.01.2022

Ich soll noch im Intervall

[0; 2 Π)

sämtliche Lösungen im Bogenmaß angeben. Habe versucht die Lösungen

(\frac{Π}{2}; 2 \frac{Π}{3}; 4 \frac{Π}{3}; 5 \frac{Π}{3})

überall einzusetzen, verstehe das nicht... Die Lösung von

sin (x)

ist ja

\pm

Wurzel3/2
x=60° sein

Respon

02:05 Uhr, 18.01.2022

Also

sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}

x =

???

sofiaknowsmathe aktiv_icon

02:08 Uhr, 18.01.2022

60 Grad oder? sin^-1 (wurzel3/2)

Respon

02:14 Uhr, 18.01.2022

Also 60° oder

\frac{π}{3}

ist schon einmal gut.
Aber es gibt noch weitere Lösungen.

sofiaknowsmathe aktiv_icon

02:14 Uhr, 18.01.2022

ja aber wie denn?

Respon

02:20 Uhr, 18.01.2022

Nehmen wir vorerst die positive Wurzel

sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{3}

Es gilt aber

sin (x) = sin (π - x)

sin (π - x) = \frac{\sqrt{3}}{2}

π - x = \frac{π}{3}

x = \frac{2 \cdot π}{3}

sofiaknowsmathe aktiv_icon

02:26 Uhr, 18.01.2022

wenn ich aber sin(Pi/3) eingebe kommt was anderes raus...

Respon

02:28 Uhr, 18.01.2022

sin (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Respon

02:40 Uhr, 18.01.2022

. .

. und weg ist sie !
Na ja, jeder wie er halt meint.

sofiaknowsmathe aktiv_icon

02:42 Uhr, 18.01.2022

nein nein bin nicht weg. Bloß zeigt mein Rechner was ganz anderes an. Da kommt 0,018... raus. und bei sin(2Pi/3) kommt 0,036...

sofiaknowsmathe aktiv_icon

02:42 Uhr, 18.01.2022

ich weiß nicht was ich falsch mache

Respon

02:47 Uhr, 18.01.2022

Für diese Aufgabe brauchst du doch keinen Taschenrechner sondern nur "Schulwissen"
Du weißt, dass

sin (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Die wichtigsten Winkel sollte man wissen ( oder man weiß wo man nachschaut ).
siehe Tabelle
Im Intervall

[0; 2 \cdot π]

hast du also 4 Lösungen.

sofiaknowsmathe aktiv_icon

02:48 Uhr, 18.01.2022

Achsooo genau das hab ich gebraucht, dankeschön!

N8eule

07:24 Uhr, 18.01.2022

...und zusätzlich vielleicht auch noch den Hinweis zum Taschenrechner:
Den musst du natürlich auf die richtigen Winkel-Einheiten einstellen,

>

wenn du mit Bogenmaß-Winkeln arbeitest, dann musst du auch Bogenmaß-Einheiten einstellen,

>

wenn du mit Gradmaß-Winkeln arbeitest, dann musst du auch Gradmaß-Einheiten einstellen.

HAL9000

10:20 Uhr, 18.01.2022

Ich wäre anders vorgegangen, um das hässliche Wurzelziehen zu umgehen:

{(\cos (x))}^{2} = \cos^{2} (x) = \frac{1 + \cos (2 x)}{2}

in die Ausgangsgleichung einsetzen ergibt

\frac{1 + \cos (2 x)}{2} - \cos (2 x) = \frac{3}{4}

, umstellen

\cos (2 x) = - \frac{1}{2}

, auflösen

2 x = \pm \arccos (- \frac{1}{2}) + 2 k π = \pm \frac{2}{3} π + 2 k π

.

Allgemeine Lösung:

x = \pm \frac{1}{3} π + k π

mit

k \in ℤ

.

Wenn man das nun noch auf irgendwelche Intervalle einschränken will, bitte sehr.

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