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Tschebyscheff-Ungleichung Problem

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Tschebyscheff-Ungleichung

i-benni aktiv_icon

18:21 Uhr, 27.05.2013

Hallo, ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe:
Sei

X_{n}

binomialverteilt mit den Parametern

n \in ℕ

und

p = \frac{1}{6}

.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Chebychev-Ungleichung eine Approximation der Wahrscheinlichkeit

P (X_{120} \in {18, . . ., 22}) .

Also ich benötige hier ja die Ungleichung in der Form

P (∣ X - E X ∣ \leq ε) \geq 1 - \frac{V a r (X_{120})}{ε^{2}}

Der Erwartungswert ist doch nun 20 und für die Varianz habe ich 600/36 = 50/3 berechnet.

Nun betrachte ich doch

P (∣ X - 20 ∣ \leq 2) = P (∣ X - 20 ∣ < 3) \geq 1 - \frac{50 / 3}{9}

Aber dann wird die rechte Seite kleiner Null und da kann doch nun irgendwas nicht stimmen?
Ich komme leider echt nicht weiter.
Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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01:10 Uhr, 28.05.2013

Nun ja, in diesem Fall ergibt sich eine völlig wertlose (aber richtige) Abschätzung.
Die Tschebyscheff-Ungleichung gilt ja für jede beliebige Verteilung. Deshalb ist die Abschätzung in vielen Fällen nur sehr ungenau. Für

ε < σ

ergibt sich immer eine Abschätzung, die nichts bringt.

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