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Tscherbyscheff-Polynom
Universität / Fachhochschule
Tags: Numerik
 
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anonymous 11:17 Uhr, 24.05.2004  |
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Ich grüße Euch, Freunde der Mathematik! ...hab grad n dicke Kopp. Weil wir sind jetzt erste Liga ;-) Das n-te Tschebyscheff-Polynom, n aus IN+{0}, ist gegeben durch T_n(x) = cos(n arccos(x)), -1<=x<=1. (a) Weise nach, dass die Terbyscheff-Polynome der Rekursionsformel T_(n+1)(x) = 2xT_n(x)-T_(n-1)(x), n=1,2,... genügen und es sich bei T_n tatsächlich um ein Polynom vom exakten Grad n handelt. (b) Zeige, dass {T_n} n aus IN+{0} bezüglich des Innenproduktes paarweise orthogonal sind. Wie lauten die entsprechenden orthonormierten Polynome? |
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Hallo 3SB8-T ich versuche mal, zur ersten Teilaufgabe einige Gedanken zu verlieren: (aus Zeitgründen, die 2. Teilaufgabe folgt vielleicht etwas später) Vorausgesetzt wird noch die Kenntnis der folgenden goniometrischen Tatsachen: cos(a+b) = cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) cos(a-b) = cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) Wenn du diese zwei Gleichungen addierst, erhältst du: cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b) oder: cos(a+b)=2cos(a)cos(b)-cos(a-b) Wenn du hier a durch n*arccos(x) und b durch arccos(x) ersetzt, erhältst du direkt: Tn+1=2xTn-Tn-1 Mit T0=1 T1=x kannst du mit Hilfe der obigen Rekursionsformel die einzelnen Tschebyscheff-Polynome berechnen, z.B. T2=2xT1-T0=2x2-1 T3=2xT2-T1=4x3-3x ... ... Damit gelingt es dir vielleicht mittels Induktionsbeweis zu zeigen, dass es sich bei Tn tatsächlich um ein Polynom vom exakten Grad n handelt. Liebe Grüsse Paul www.matheraum.de |
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anonymous 10:26 Uhr, 26.05.2004 |
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Hallo Paul! Vielen Dank für den Lösungsansatz... schade, dass Du mir nichts zur (b) sagen konntest ;-( Aber nochmals VIELEN DANK! Christian |
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Hallo! Zu Aufgabe b): Die unbekannt Konstante c steht dort, weil bei n = m der Ausdruck genau 1 sein sollte, du musst also das Integral für n = m ausrechnen und dann c bestimmen, um die "orthonormierten Polynome" zu bestimmen. 1. Fall m=n Dann kannst du dich der Identität cos(x)^2 = 0.5+0.5*cos(2x) bedienen und einfach integrieren. (Tipp: -w(x) ist die Ableitung von ArcCos(x) ==> Substituiere u = ArcCos(x). Dann gilt du/dx=-1/Wurzel(1-x^2).) Das Integral ergibt dann Pi/2, womit du c bestimmen kannst. 2. Fall m!=n Dann schlage ich dir partielle Integration vor: u(x)=T_m(x) v'(x)=T_n(x)*w(x) Integral[u(x)*v'(x)]=u(x)*v(x)-Integral[u'(x)*v(x)] Wenn du das durchrechnest, wirst du beim letzten Integral (rechte Seite) die gleiche Struktur wie bei dem ersten sehen, nur hier werden Sinusfunktionen statt Kosinusfunktionen stehen. Daher integrierst du noch einmal partiell (gleiches Vorgehen) und wirst dann nach dem ersten Integral (das du bestimmen willst) auflösen können. Ich kann dir das hier leider nicht vorrechnen, da das einfach zu viel Zeit zum Tippen beansprucht. Auf jeden Fall kommt für n!=m 0 heraus, und das ist gut so. Viel Erfolg! |
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Hallo 3SB8-T nun gut, ich dachte halt, dass dich die Lösung von a) vielleicht auch in die Lösung von b) hineinmanövriere. Oft ist es ja so, dass, wenn mal der erste Teil einer Aufgabe gelöst ist, durch das sich einstellende Aha-Erlebnis der Rest dann wie von selbst geht! Jedenfalls freut es mich, dass du offenbar meinen Lösungsansatz für a) hast nachvollziehen können! Und jetzt ist für b) sogar Clemens noch eingesprungen. Das ist besonders lobenswert! Vielen Dank also auch an Clemens! Liebe Grüsse Paul |
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anonymous 13:42 Uhr, 27.05.2004 |
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Da schließe ich mich doch an: Danke Clemens! Gruß, Christian |
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