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Türmchen bauen mit geometrischen Folgen!

Schüler Gymnasium,

Tags: Geometrische Folge, Kantenlänge, Turm

Sihaa aktiv_icon

16:50 Uhr, 08.05.2012

Hallo Leute!

So, ein letztes Mal für heute melde ich mich nochmals zum Thema Folgen & Reihen.

Die Aufgabenstellung lautet:

Ein Turm wird aus Würfeln aufgebaut. Der erste Würfel hat eine Kantenlänge von

l = 1 m

. Der zweite

l = 0.5 m

. Jeder weitere hat die halbe Kantenlänge des darunter liegenden Würfels. Welche Höhe nimmt der Turm an, wenn unendlich viele Würfel aufeinander gesetzte werden.

Soweit habe ich bisher berechnet:

a_{1} = 1 m

a_{2} = \frac{1}{2} m

q = \frac{1}{2}

Die Höhe

h

wird gesucht.

Es handelt sich um eine geometrische Reihe, soviel steht fest.
Da

q < 1

kann ich folgende Formel verwenden:

S_{n} = a_{1} \cdot (\frac{1 - q^{n}}{1 - q})

Das hiesse:

S_{n} = 1 \cdot (\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}})

Soweit so gut. Nach Umformen kommt bei mir Folgendes heraus:

S_{n} = 2 \cdot (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})

h

zu berechnen fehlt mir das

n!

In der Aufgabenstellung wird für

n

ja Unendlich erwähnt

. .

. was bedeutet das jetzt? Kann der Ausdruck mit

n

weggelassen werden, wenn er sich gegen Unendlich richtet?

Liebe Grüsse
Siha

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung

Matlog aktiv_icon

17:06 Uhr, 08.05.2012

Hallo Siha,

S_{n}

ist ja die Höhe des Turms mit

n

Würfeln, die Du richtig berechnet hast.
Die Höhe des Turms mit unendlich vielen Würfeln ist also der Grenzwert von

S_{n} (n

gegen unendlich).

Noch eine kleine Bemerkung:
Die Formel für

S_{n}

gilt auch für

q > 1

. Aber

q < 1

braucht man für die Konvergenz.

Sihaa aktiv_icon

17:22 Uhr, 08.05.2012

Stichwort Konvergenz!
Ich nehme also an, dieser Turm, bzw. seine Höhe hat irgendeinen Grenzwert. Macht ja auch Sinn. Dieser Grenzwert ist gleichzeitig auch mein gesuchtes

h,

richtig?

. .

. aber

. .

. da kommt doch dann dasselbe raus!

lim [2 \cdot (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})]

Irgendeine Information bezüglich dieses Limes fehlt mir, und meine Theorie-Unterlagen geben leider auch keine weiteren Hinweise!

Oder heisst es ganz einfach, die Formel ist die Lösung?

Matlog aktiv_icon

17:25 Uhr, 08.05.2012

Die Formel (mit

lim

davor) ist schon die Lösung, aber Du musst den Grenzwert noch ausrechnen!
Was für einen Grenzwert hat denn dieses

{(\frac{1}{2})}^{n}

Sihaa aktiv_icon

17:30 Uhr, 08.05.2012

NULL! Achsooo! *Glühbirne explodiert*

Das heisst

. .

. Die Höhe ist gleich

2 m!

Richtig?

Matlog aktiv_icon

17:31 Uhr, 08.05.2012

Perfekt!

Sihaa aktiv_icon

17:36 Uhr, 08.05.2012

YEAH! :-D)

Und jetzt überschütte ich meinen Online-Mathelehrer wie immer mit Lobpreisungen und einer Schachtel imaginärer Pralinen: Vielen herzlichen Dank, dass Du dir Zeit genommen hast, lieber Matlog!

Einen schönen Abend noch!

*davon hüpft und Mathebuch lieb hat*

Siha

Matlog aktiv_icon

17:39 Uhr, 08.05.2012

Gern geschehen!
Es macht Spaß zu sehen, wie Du offensichtlich neue Erkenntnisse gewinnst!

Ich hab gerade versucht, Deinen Turm nachzubauen. Aber bei

n = 9

bin ich an meinen Wurstfingern gescheitert... ;-)

Sn1perMcMarc aktiv_icon

17:01 Uhr, 01.11.2015

Auch wenn diese Frage schon seit langem nun geklärt ist, habe ich noch eine neue Frage bezüglich dieser Aufgabenstellung.

Wie berechnet man das Volumen dieses Turms?

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Mit Freundlichen Grüßen

Marc.

Matlog aktiv_icon

18:59 Uhr, 01.11.2015

Auch nach vielen Jahren: das Prinzip bleibt das Gleiche!
Es entsteht wieder eine geometrische Reihe, deren Wert zu berechnen ist.
Versuch's doch mal!

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