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Typ (r+, r- , r0) Bestimmung einer BLF

Universität / Fachhochschule

16:30 Uhr, 02.07.2012

Für jedes $a \in R$ definiert die symmetrische reelle Matrix

$A = (\begin{matrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{matrix})$

eine Bilinearform auf $R^{3}$ .

Bestimmen Sie den Typ $(r_{+}, r_{-}, r_{0})$ dieser Bilinearform in Abhängigkeit von $a$ .

Satz (Hauptminorenkriterium):

Sei $A^{t} = A \in M a t (n x n, R)$

Voraussetzung:

$| A_{i} | \neq 0 \forall i = 1... n$

Die durch $A$ definierte BLF s hat den Typ $(r_{+}, r_{-}, r_{0})$ wobei

$r_{-}$ = Anzahl der Vorzeichenwechsel

in der Folge $1, | A_{1} |, ..., | A_{n} |$ und $r_{+} = n - r_{-}$

Rechnung:

$\det (a) = a$ $\det (\begin{matrix} a & 1 \\ 1 & a \end{matrix}) = a^{2} - 1$ $\det (A) = a^{3} - 3 a + 2$

=> Die Folge $1, a, a^{2} - 1, a^{3} - 3 a + 2$

Wie sieht man jetzt wieviele VzW existieren und wie kann man dann daraus den Typen bestimmen?

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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