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U ist Normalteiler, wenn G/U zwei Äquivalenzenklas

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Tags: äquivalenzklasse, Äquivalenzrelation, G/U, Gruppen, Relation., Ring, Sonstig

Sonnenlord aktiv_icon

23:26 Uhr, 19.05.2019

Hallo an alle!

Ich habe seit heute Morgen große Schwierigkeiten folgende Aufgabe zu lösen:

Die Aufgabe habe ich unten als Bild hochgeladen.

Der Grund, warum ich hier Schwierigkeiten hab, ist, weil ich keinen gescheiten Ansatz zum Beweisen dieser Aussage hinbekomme.

Mein Ansatz war folgender:

___________________________________________________________________

Behauptung
____________

Sei

U

eine Untergruppe der Gruppe

G

U

ist ein Normalteiler von

G

, wenn

G / U

aus

2

Äquivalenzklassen besteht.

Beweis
____________

Nach Voraussetzung besteht

G / U

aus zwei Äquivalenzklassen.

Also:

G / U = {[a]_{\sim}, [b]_{\sim} ∣ a, b \in G}

,

wobei

[a]_{\sim}

und

[b]_{\sim}

die Äquivalenzklassen bezüglich der Relation

a \sim b : \Leftrightarrow a^{- 1} \circ b \in U

sind.

\underline{Zu zeigen}

g \circ U = U \circ g \forall g \in G

\subseteq

"

Sei

x \in g \circ U

.

Dann lässt sich

x

darstellen als

x = g \circ u

. Offensichtlich ist auch

x \in [g]_{\sim} = g \circ U

_____________________________________________________________

Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Es ist also nicht viel.

Meine Idee war es,

x

als Element einer der beiden Äquivalenzklassen von

G / U

darzustellen. Und vielleicht lässt sich damit arbeiten.

Aber ich weiß ab dieser Stelle nicht mehr, was ich tun muss...

Kann mir da jemand helfen?

Freue mich auf jede Hilfe.

Schönen Abend noch, Till