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UVM beweisen

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Tags: Gruppen, Körper, polynom, Relation., Ring

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ninabecker

ninabecker aktiv_icon

07:32 Uhr, 09.01.2021

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Es sei

V

ein reeller Vektrorraum und

f : V \to V

und

g : V \to V

lineare Abbildungen. Man zeige durch direkten Nachweis der UVM Axiome, dass

M

einen UVM von

V

bildet.

M

ist hierbei

: M := {v

Element von

V : f (v) = g (v)}

Mir ist bekannt, dass ich hier die leere Menge zeigen muss, die Additivität und Homogenität. Wisst ihr, wie es hier an dem Beispiel zeige?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:35 Uhr, 09.01.2021

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"Mir ist bekannt, dass ich hier die leere Menge zeigen muss, die Additivität und Homogenität. "

Welche leere Menge? :-O

Du musst nur zeigen:

v, w

in

V

und

a, b

Zahlen =>

a v + b w \in V

.
Das ist sehr einfach hier:

v, w

in

V

=>

f (v) = g (v)

und

f (w) = g (w)

=>

f (a v + b w) = a f (v) + b f (w) = a g (v) + b g (w) = g (a v + b w)

,
wobei ich die Linearität von

f

und

g

benutzt habe.

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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

10:40 Uhr, 09.01.2021

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Hallo,

Kann

M

leer sein? Welches Element könnte in

M

liegen? Kann man in einem beliebigen Vektorraum

V

überhaupt irgendein Element konkret benennen? Versuchs mal damit.

Zur weiteren Frage:

Wenn

u, v \in M

liegen, dann gilt:

f (u) = g (u)

und

f (v) = g (v)

.

Liegt dann auch

s \cdot u + t \cdot v (s, t

aus dem Körper) in

M, d . h

. gilt:

f (s \cdot u + t \cdot v) = g (s \cdot u + t \cdot v)

?

Gruß pwm

ninabecker

ninabecker aktiv_icon

13:10 Uhr, 10.01.2021

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Danke für die Hilfestellung Boogie!

PWmeyer, ich habe da noch eine Frage: Muss da nicht noch mit

s \cdot t \cdot f \cdot (u + v) = s \cdot t \cdot g \cdot (u + v)

letzten Schritt ergänzt werden? Damit wäre ja die Homogenität gezeigt

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

10:34 Uhr, 11.01.2021

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Hallo,

ja, aber so, wie es Dr. Boogie getan hat. Deine Gleichung ist falsch.

Gruß pwm

Antwort

HAL9000

10:56 Uhr, 11.01.2021

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Zur inhaltlichen Einordnung:

M

kann ja unter Nutzung der Differenzabbildung

h = f - g

auch so geschrieben werden:

M = {v \in V : h (v) = 0}

D.h.,

M

ist der Kern der (ja ebenfalls linearen) Abbildung

h

. Möglicherweise ist dieser Begriff beim Fragesteller noch nicht bekannt.

Frage beantwortet

ninabecker

ninabecker aktiv_icon

16:13 Uhr, 18.01.2021

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Danke!

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