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Über R die Gleichung lösen

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Tags: Lösungsmenge

meierp23x aktiv_icon

18:13 Uhr, 19.01.2022

Wie Löse ich folgende Gleichung über R?

e^{x^{2} - 2 \sqrt{x^{2}}} - \frac{1}{e} = 0

Ich hätte gedacht das man mit dem log. das

e

wegbekommt und dann das ganze anschließend nach

x

umstellt. Aber das erscheint mir auch nicht der richtige Weg zu sein

Vielen Dank im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

18:15 Uhr, 19.01.2022

Hallo,

könntest du denn die Gleichung

e^{x^{2} - 2 \sqrt{x^{2}}} = e^{- 1}

lösen?

Dann müsstest du nur noch überlegen, wie du deine Gleichung in diese Form überführen kannst.

Mfg Michael

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18:22 Uhr, 19.01.2022

\frac{1}{e} = e^{- 1}

e^{x^{2} - 2 \sqrt{x^{2}}} = e^{- 1}

Exponentenvergleich:

x^{2} - 2 \sqrt{x^{2}} = - 1

. .

meierp23x aktiv_icon

19:47 Uhr, 19.01.2022

Wurzel und

^2

heben sich auf und es bleibt eine Gleichung, die man mit der

\frac{p}{q}

formel lösen kann.

\to x^{2} - 2 x + 1

x_{1} = 1

x_{2} = - 1

Das hätte ich jetzt getan
Exponenetenvergleich ist ein toller ansatz

Respon

19:51 Uhr, 19.01.2022

"Gleichung"
Meinst du vielleicht

x^{2} - 2 \cdot x + 1 = 0

Wie bist du auf deine Lösungen gekommen ?

rundblick aktiv_icon

19:51 Uhr, 19.01.2022

x^{2} - 2 x + 1 = 0

Das hätte ich jetzt getan

\to

x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Rightarrow

{(x - 1)}^{2} = 0

\Rightarrow x =

??

.

meierp23x aktiv_icon

20:13 Uhr, 19.01.2022

>wie bist du auf die Lösung gekommen

x^{2} - 2 \sqrt{x^{2}} = 1

= x^{2} - 2 x = 1

= - \frac{- 2}{2} = 1 \pm \sqrt{- {(\frac{- 2}{2})}^{2} - 1}

= 1 \pm \sqrt{0}

= x_{1,2} = 1

rundblick;

x^{2} - 2 x + 1 = 0

{(x - 1)}^{2} = 0

x = 1

Respon

20:16 Uhr, 19.01.2022

Und was ist jetzt mit

x_{2} = - 1

meierp23x aktiv_icon

20:18 Uhr, 19.01.2022

Müsste falsch sein, da

1 - 0 = 1

ist
hab es nochmal korrigiert

Respon

20:20 Uhr, 19.01.2022

Mach doch mal die Probe ( Originalgleichung ) mit

x = - 1

meierp23x aktiv_icon

20:23 Uhr, 19.01.2022

wenn ich

- 1

als

x

einsetze, kommt da nicht 0 raus

Respon

20:24 Uhr, 19.01.2022

Doch !

meierp23x aktiv_icon

20:27 Uhr, 19.01.2022

Sie haben Recht. Ich habe die Klammern nicht gesetzt im TR.
Wie komme ich denn jetzt auf die

- 1

? Bei rundblicks weg kommt ja auch nur 1 heraus

Respon

20:29 Uhr, 19.01.2022

"Wurzel und

^2

heben sich auf"
Das ist nicht korrekt.

\sqrt{x^{2}} = . .

HAL9000

20:29 Uhr, 19.01.2022

x^{2} - 2 \sqrt{x^{2}} = - 1

bedeutet wegen

\sqrt{x^{2}} = \sqrt{∣ x ∣^{2}} = ∣ x ∣

dann

∣ x ∣^{2} - 2 ∣ x ∣ + 1 = 0

{(∣ x ∣ - 1)}^{2} = 0

∣ x ∣ = 1

.

D.h., neben

x = 1

ist auch

x = - 1

Lösung!

michaL aktiv_icon

20:30 Uhr, 19.01.2022

Hallo,

nachdem die Hauptarbeit eigentlich damit getan ist, die Originalgleichung umzuwandeln in

x^{2} - 2 \sqrt{x^{2}} + 1 = 0

, können wir ja nochmal formaler werden:

\sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣

und auch

x^{2} = ∣ x ∣^{2}

machen aus der Gleichung

∣ x ∣^{2} - 2 ∣ x ∣ + 1 = 0

, also

(∣ x ∣ - 1)^{2} = 0

, woraus

∣ x ∣ = 1

folgt.

Diese Gleichung hat zwei (reelle) Lösungen.

Mfg Michael

PS:
> Exponenetenvergleich ist ein toller ansatz

Das ist doch sicher aus das, was ihr in der Übung hattet, oder?

meierp23x aktiv_icon

20:32 Uhr, 19.01.2022

Vielen Dank euch. Das hat meine Fragen beantwortet.

meierp23x aktiv_icon

20:36 Uhr, 19.01.2022

>hatte ihr doch in den Übungen

Zeit war vorbei, dementsprechend nur kurz angeschnitten

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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