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Überabzählbare Menge besitzt Häufungspunkte

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

 
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shiroxx

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13:51 Uhr, 18.10.2019

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Guten Tag,

Ich beschäftige mich zur Zeit mit folgender Aufgabe:

a) Zu zeigen: Jede überabzählbare Menge MR besitzt mindestens einen Häufungspunkt

meine Überlegungen: Zum einen denke ich, dass es nicht nur einen, sondern unendliche viele Häufungspunkte gibt

Häufungspunkt bedeutet ja :

Sei pR Häufungspunkt der Menge M:

ε>0M:|p-m|<ε mit mp

Meine Überlegung ist dies mit der Kontraposition zu zeigen, also Annahme: M überabzählbar aber es existiert keine Häufungspunkt, das bedeutet dann ja

es e0M:|p-m|ε mit mp

kann man mit der Idee etwas anfange?

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:09 Uhr, 18.10.2019

Antworten
Hallo,
ja, so ähnlich würde ich auch beginnen. Ich möchte meine
Beweisidee etwas klarer vorstellen:
Zeige, dass eine unendliche Teilmenge der reellen Zahlen,
die keinen Häufungspunkt hat, abzählbar ist.
Nutze dazu die Tatsache, dass in jedem offenen Intervall eine
rationale Zahl liegt.
Gruß ermanus
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

14:26 Uhr, 18.10.2019

Antworten
Erstmal vielen Dank, ich bin mir nur noch nicht ganz sicher, was genau ich dann zum Widerspruch führe, bzw ob ich dann überhaupt ein Widerspruch finde oder ich dann folgern kann, wenn die Menge überabzählbar ist, dann gibt es mindst. einen Häufungspunkt

ein offenes Intervall ist ja überabzählbar inwiefern nutze ich das für die erste Aussage?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:39 Uhr, 18.10.2019

Antworten
Wenn M keinen Häufungspunkt besitzt, dann ist jedes Element von xM in einem
offenen Intervall Uεx(x)=(x-εx,x+εx) enthalten und jedes dieser
Intervalle enthält auch nur dieses einzige Element x aus M,
also MUεx(x)={x}. Da jedes Intervall eine rationale Zahl enthält,
ist die Anzahl dieser Intervalle Mächtigkeit von , ...
P.S.: die Epsilons können so klein gewählt werden, dass sich die
Intervalle nicht überlappen.
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

14:14 Uhr, 19.10.2019

Antworten
ahhh, wie super sehr cool danke, die Aussage, dass in jedem Intervall eine rationale Zahl liegt, liegt daran, dass Q " dicht" in R ist, oder wie erklärt man das?

folgt daraus dann schon dass eine unendlich viele Häufungspunkte besitzt, da ich in b) die Aussage von a) verschärfen soll und meine Idee ist eben das "mindestens" durch unendlich zu ersetzen
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:42 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Ja, die Dichtheit von Q bringt's.
Um über den Teil b) nachzudenken, fehlt mir leider gerade die Zeit.
Gruß ermanus
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

17:09 Uhr, 20.10.2019

Antworten
Alles klar, Vielen Dank
shiroxx

shiroxx aktiv_icon

09:26 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Hat jmd vielleicht noch eine Idee zu d?

Zu zeigen ist, dass jede Perfekte Menge MR überabzählbar ist
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:52 Uhr, 21.10.2019

Antworten
Hallo,

falls du b) noch nicht gelöst hast, hier eine Variante:
Seien x1,,xn verschiedene Häufungspunkte der überabzählbaren
Menge M. Wir betrachten für jedes nat. k>0 die Menge
Mk=M\i=1n(xi-1k,xi+1k).
Ist diese für ein k überabzählbar, so besitzt sie einen Häufungspunkt
xn+1x1,,xn.
Wären alle Mk abzählbar, so wäre
M\{x1,,xn}=k=1Mk als
Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen abzählbar, Widerspruch.

Gruß ermanus
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