 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Überabzählbare Menge besitzt Häufungspunkte
Überabzählbare Menge besitzt Häufungspunkte
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Mengentheoretische Topologie
 
|
  |
|---|
|
Guten Tag, Ich beschäftige mich zur Zeit mit folgender Aufgabe: Zu zeigen: Jede überabzählbare Menge besitzt mindestens einen Häufungspunkt meine Überlegungen: Zum einen denke ich, dass es nicht nur einen, sondern unendliche viele Häufungspunkte gibt Häufungspunkt bedeutet ja : Sei Häufungspunkt der Menge mit Meine Überlegung ist dies mit der Kontraposition zu zeigen, also Annahme: überabzählbar aber es existiert keine Häufungspunkt, das bedeutet dann ja es mit kann man mit der Idee etwas anfange? Vielen Dank Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Hallo, ja, so ähnlich würde ich auch beginnen. Ich möchte meine Beweisidee etwas klarer vorstellen: Zeige, dass eine unendliche Teilmenge der reellen Zahlen, die keinen Häufungspunkt hat, abzählbar ist. Nutze dazu die Tatsache, dass in jedem offenen Intervall eine rationale Zahl liegt. Gruß ermanus |
 |
|
Erstmal vielen Dank, ich bin mir nur noch nicht ganz sicher, was genau ich dann zum Widerspruch führe, bzw ob ich dann überhaupt ein Widerspruch finde oder ich dann folgern kann, wenn die Menge überabzählbar ist, dann gibt es mindst. einen Häufungspunkt ein offenes Intervall ist ja überabzählbar inwiefern nutze ich das für die erste Aussage? |
|
|
|
Wenn keinen Häufungspunkt besitzt, dann ist jedes Element von in einem offenen Intervall enthalten und jedes dieser Intervalle enthält auch nur dieses einzige Element aus , also . Da jedes Intervall eine rationale Zahl enthält, ist die Anzahl dieser Intervalle Mächtigkeit von , ... P.S.: die Epsilons können so klein gewählt werden, dass sich die Intervalle nicht überlappen. |
|
|
|
ahhh, wie super sehr cool danke, die Aussage, dass in jedem Intervall eine rationale Zahl liegt, liegt daran, dass " dicht" in ist, oder wie erklärt man das? folgt daraus dann schon dass eine unendlich viele Häufungspunkte besitzt, da ich in die Aussage von verschärfen soll und meine Idee ist eben das "mindestens" durch unendlich zu ersetzen |
|
|
|
Ja, die Dichtheit von bringt's. Um über den Teil b) nachzudenken, fehlt mir leider gerade die Zeit. Gruß ermanus |
|
|
|
Alles klar, Vielen Dank |
|
|
|
Hat jmd vielleicht noch eine Idee zu d? Zu zeigen ist, dass jede Perfekte Menge überabzählbar ist |
|
|
|
Hallo, falls du b) noch nicht gelöst hast, hier eine Variante: Seien verschiedene Häufungspunkte der überabzählbaren Menge . Wir betrachten für jedes nat. die Menge . Ist diese für ein überabzählbar, so besitzt sie einen Häufungspunkt . Wären alle abzählbar, so wäre als Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen abzählbar, Widerspruch. Gruß ermanus |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1483093
1482689